Tangentialebene bestimmen

08.11.2017, 03:17

Dmpartyrock

Tangentialebene bestimmen

Meine Frage:
Hallo,Ich soll die Tangentialebenen in den besagten Punkten berechnen.

Meine Ideen:
Habe ich bei den ersten 2 auch gemacht.Aber bei der ersten Gleichung kommt einfach z=1 raus und bei der 2 Aufgabe habe ich das Problem,dass wenn ich die Punkte in die partiellen Ableitungen einsetze,dass dort dann 0/0 bei beiden steht.Jetzt weis ich da aber auch nicht weiter.Existiert dann einfach die Ebene nicht oder ?

08.11.2017, 15:07

mYthos

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Es gibt hier im Board viele Beiträge über Tangentialebenen.
Vielleicht hilft dir (u.a.) der Thread

--> https://www.matheboard.de/thread.php?pos...614#post2052614

(1) z = 1 ist richtig

Übrigens handelt es sich bei (2) um einen Doppelkegel, dessen Spitze sich in (0; 0; 0) befindet.
Es stimmt auch, dass es keine eindeutige Tangentialebene gibt.
Nimm als Beispiel auf der Fläche einen Punkt (a; 0; a) an und berechne für diesen die Tangentialebene.
Du wirst sehen, dass deren Gleichung unabhängig von a ist. Sie ist aber nur eine von unendlich vielen möglichen.
------------------

(4) und (5) sind Paraboloide und (3) eine besondere - zweigeteilte - Fläche.
Der angegebene Punkt (1; -1; 2) befindet sich nur in einem Teil der Fläche.
Löse daher die implizite Gleichung zuerst nach z auf und betrachte nur den in Frage kommenden Teil.
(Es ist der mit der positven Quadratwurzel)

mY+

08.11.2017, 20:00

Dmpartyrock

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Könntest du mir bei der 3 einen Tipp geben,wie ich die Gleichung nach einem z umstellen kann. verwirrt

08.11.2017, 20:12

mYthos

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Gern.

$\begin{eqnarray*} z^2 - xz + x^2y - 1 = 0 \end{eqnarray*}$ [Edit: Schreibfehler berichtigt]

Quadr. Gleichung nach der Formel auflösen:

$\begin{eqnarray*} z_{1,2} = \frac x 2 \pm \sqrt{\frac{x^2} 4 - x^2y + 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1,2} = \frac x 2 \pm \frac 1 2 \sqrt{x^2 - 4 x^2y + 4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1,2} = \frac 1 2 \cdot \left(x \pm \sqrt{x^2(1 - 4y) + 4} \right) \end{eqnarray*}$

Und jetzt schaue nach, wo der Punkt darauf liegt ...
-------------------

EDIT:

Nachdem man das Ding noch partiell nach x und y ableiten muss, habe ich nach einer Alternative gesucht, um ohne Umformung direkt zu den Ableitungen zu kommen.
Es soll dies einfacher zu gestalten sein, da man darin ja nur noch die Koordinaten des Punktes einsetzen muss.
Es gibt daher den Weg über die implizite Ableitung:

$\begin{eqnarray*} z^2 - xz + xy^2 - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Part. Abl. nach x: $\begin{eqnarray*} 2zz' - z - xz' + 2xy = 0 \ \to \ z_x = \frac{z - 2xy}{2z - x} \end{eqnarray*}$

Part. Abl. nach y: .... (analog)

Ist vielleicht etwas einfacher (falls man dabei keine Fehler macht) Big Laugh

mY+

09.11.2017, 11:23

Jefferson1992

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Zitat:

Original von mYthos

$\begin{eqnarray*} z^2 - xz + xy^2 - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Part. Abl. nach x: $\begin{eqnarray*} 2zz' - z - xz' + 2xy = 0 \ \to \ z_x = \frac{z - 2xy}{2z - x} \end{eqnarray*}$

Part. Abl. nach y: .... (analog)

Ist vielleicht etwas einfacher (falls man dabei keine Fehler macht) Big Laugh

mY+

Sag mal, wenn ich diese Gleichung nach x ableite, kommt bei mir was anderes raus..
nämlich

$\begin{eqnarray*} f_x= -z+y^2 \end{eqnarray*}$

Der Rest fällt ja weg, weil es nicht von x abhängt. Was sehe ich da nicht?

10.11.2017, 02:54

mYthos

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Was du nicht siehst, ist, dass $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ sowohl von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , als auch von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abhängt, daher muss - nach der Kettenregel - bei beiden partiellen Ableitungen nachdifferenziert werden.

$\begin{eqnarray*} z^2 \ \to 2z \frac{\partial z}{\partial x} \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} z^2 \ \to 2z \frac{\partial z}{\partial y} \end{eqnarray*}$

Ich sagte ja, wenn man keine Fehler macht .. Big Laugh

(ich habe es geahnt!)

mY+

10.11.2017, 06:58

Dopap

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Zitat:

Original von Jefferson1992

Der Rest fällt ja weg, weil es nicht von x abhängt.

Das ist Schülersprech.

dann leite mal $\begin{eqnarray*} y(x):= c\cdot f(x) \end{eqnarray*}$ mit der Produktregel nach x ab und $\begin{eqnarray*} c' \end{eqnarray*}$ fällt ja weg!

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y'(x) = c'f(x) +cf'(x) = f(x)+cf'(x) \end{eqnarray*}$ verwirrt

und ich dachte bisher $\begin{eqnarray*} cf'(x) \end{eqnarray*}$ sei richtig

10.11.2017, 13:54

Jefferson1992

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ich verstehe es nicht sorry.

Es ist doch eine Gleichung, die gleich 0 ergibt. Und warum sollte bei z auch noch ein x oder y auftreten? Wieso hängt z von x und y ab?

Woher weiß ich, dass in $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ ein x oder ein y enthalten sind?
Sorry, ich sehe es nicht..

10.11.2017, 14:13

mYthos

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Du hast den Joke, den Dopap gemacht hat, nicht verstanden. Zugegeben, ich zuerst auch nicht!
Es sollte dort das "Wegfallen" ad absurdum geführt werden.

Es gibt doch die Alternative, die Funktion $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ explizit zu machen, wozu habe ich dir das geschrieben (hast du dies dort gelesen?)?
Und dann sieht man doch, dass z von den beiden Variablen x, y abhängt (!)

Die Gleichung, welche 0 ergibt, ist eine implizite Funktion. Und dort kann man auch implizit ableiten.
Und da z = z(x,y), gibt es eben zwei partielle Ableitungen, eine nach x und eine nach y.

Ist es jetzt für dich besser verständlich?

mY+

10.11.2017, 14:23

Jefferson1992

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Also nur zum Verständis:

explizit: z= irgendwas
implizit: z+ irgendwas = irgendwas

Sehe ich das richtig?

Ja, wir hatten das mit der Wurzel, wo die positive Wurzel auf unseren Fall passt.

Das bedeutet, bei der impliziten Funktion könnte ich auch $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ ersetzen durch das oben ausgeführte:

Also $\begin{eqnarray*} z^2 = (\frac{1}{2}(x+\sqrt{x^2(1-4y)+4})^2 \end{eqnarray*}$

Und deswegen "Kettenregel"

und das z' wäre dann dieser innere Teil der Kettenregel, sehe ich das richtig?

Und $\begin{eqnarray*} z_x = z' \end{eqnarray*}$ oder?

10.11.2017, 14:26

Dopap

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korrekt ist : die Ableitung einer Konstanten ist Null.
----------------------------
Du hast eine implizite Relation in 3 Variablen. Wenn du nun nach einer bestimmten Variablen auflöst, dann ist das eine Funktion in den beiden anderen Variablen. Logisch!

Beispiel: die Ebenenrelation $\begin{eqnarray*} 8x-4y+2z-5=0 \end{eqnarray*}$ ergibt nach z aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} z:=-4x+2y-2.5 \end{eqnarray*}$ oder schöner $\begin{eqnarray*} z(x,y):=-4x+2y-2.5 \end{eqnarray*}$

edit: etwas spät.

10.11.2017, 14:33

Jefferson1992

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ah okay, und das ist ja das, was ich bei Tangentialebenen machen möchte, ich möchte irgendwie eine Funktion mit 3 Variablen im 2 dimensionalen darstellen und dafür forme ich nach einer Variable um, in dem Fall nach z und muss aber bedenken, wenn ich das mache, das z von x und y abhängt.

Man hat es ja auch bei den ersten 2 Aufgabe, wo man direkt z gleich da stehen hatte einfach gemacht. Auch da hat man ja partiell abgeleitet..

Hat man da echt übersehen.

Also nochmal zum entgültigen Verständnis:

Wenn ich eine Funktion habe, die schon in der Form z= irgendwas ist, dann kann ich direkt oben genannte Formel verwenden und bin fertig.

Wenn ich irgendwas in der Form z+x+y = irgendwas habe, dann kann ich entweder, wenn es übersichtlich bleibt nach z umformen und dann wieder die oben genannte Formel anwenden oder ich gehe über den impliziten Weg und sage z+x+irgendwas = 0 und leite dann auch, nach x und y ab, wende also die Formel an, muss aber bedenken, dass z = z(x,y) ist und da eine Kettenregel nötig ist.

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