Vollständige Induktion über Fakultätsfunktion

08.11.2017, 09:16

ForeRunner

Vollständige Induktion über Fakultätsfunktion

Meine Frage:
Zeigen sie mittels vollständiger Induktion über N*, dass

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} k * k! = (n+1)! -1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hallo hier lieben. Hier ist mal das was ich soweit habe.

Wir zeigen, $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} k * k! = (n+1)! -1 \end{eqnarray*}$ mithilfe einer Vollständigen Induktion über N*.

Induktionsanfang:

Für den Start der Induktion wählen wir n = 1, also folgt
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{1} k * k! = 1 * 1! = 1! = 1! +1 -1 = 1 + 1! -1 = (1 + 1)! -1 \end{eqnarray*}$

Somit ist der Induktionsanfang gezeigt.

Induktionsvoraussetzung:

Gilt für alle $\begin{eqnarray*} n \in N* \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k * k! = \sum\limits_{k=1}^{n} k * k! + \sum\limits_{k=n+1}^{n+1} k * k! = \sum\limits_{k=1}^{n} k * k! + (n + 1) * (n + 1)! = (n+1)! -1 +(n+1)*(n+1)! = (1 (n+1)) * (n+1)!-1=(n+2)*(n+1)! -1 = (n+2)! -1 \end{eqnarray*}$

(sorry für die lange übersichtliche Zeile, wenn ich das anders aufteile, wird das ganz komisch eingerückt, hoffe es geht trotzdem smile

)

Somit ist der Schritt gezeigt und die Voraussetzung erfüllt.

So jetzt meine frage, kann man das so stehen lassen?
Und kann mir jemand vielleicht erklären warum man das hier machen kann?
$\begin{eqnarray*} (n+1)! -1 +(n+1)*(n+1)! = (1 (n+1)) * (n+1)!-1 \end{eqnarray*}$
Alles andere habe ich selbst gemacht aber bei dem Schritt wusste ich einfach nicht,
wie ich das umformen kann, also habe ich das mal nachgeguckt, aber ich würde es auch
gerne verstehen. smile

Danke schonmal im Vorraus.

08.11.2017, 09:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von ForeRunner
Und kann mir jemand vielleicht erklären warum man das hier machen kann?
$\begin{eqnarray*} (n+1)! -1 +(n+1)*(n+1)! = {\color{red}(1 (n+1))} * (n+1)!-1 \end{eqnarray*}$
Alles andere habe ich selbst gemacht aber bei dem Schritt wusste ich einfach nicht,
wie ich das umformen kann, also habe ich das mal nachgeguckt

Nachgeguckt, aber nicht drüber nachgedacht? Statt $\begin{eqnarray*} (1 (n+1)) \end{eqnarray*}$ muss da $\begin{eqnarray*} (1 {\color{red}+}(n+1)) \end{eqnarray*}$ stehen, und Grundlage ist das Distributivgesetz, insgesamt steht da

$\begin{align*} (n+1)! -1 +(n+1)\cdot (n+1)! = {\color{red}1}\cdot (n+1)! -1 + {\color{red}(n+1)}\cdot (n+1)! = {\color{red}(1+(n+1))} \cdot (n+1)!-1 = (n+2)\cdot (n+1)!-1 \end{align*}$ .

08.11.2017, 10:00

ForeRunner

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Ah ja tut mir leid das + habe ich nur vergessen hinzuschreiben.
Aber verstehen tue ich das nur so halb.
Ich verstehe nicht so ganz wie man das macht, dass dann die eine Fakultät zu verschwinden scheint,
obwohl sie das wahrscheinlich nicht tut.
Wieso genau darf man so umformen?

08.11.2017, 10:17

klarsoweit

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Um welche Umformung geht es denn genau? Wesentliche Grundlage ist dies:

Zitat:

Original von HAL 9000
und Grundlage ist das Distributivgesetz

08.11.2017, 10:32

HAL 9000

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@ForeRunner

Distributivgesetz, manchmal auch "ausmultiplizieren" bzw. "ausklammern" (je nach Betrachtungsrichtung) genannt:

$\begin{align*} (a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c \end{align*}$ .

Wird gewöhnlich in der Mittelstufe gelehrt, und solltest du deshalb eigentlich auch kennen. Wird hier auf $\begin{align*} a=1,b=n+1,c=(n+1)! \end{align*}$ angewandt, und zwar von rechts nach links gelesen. Ich hatte ja gedacht, dass die Rotmarkierungen das ausreichend deutlich machen, aber offenbar wohl doch nicht.

08.11.2017, 17:45

ForeRunner

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Ah alles klar!

Danke für die Hilfe! Stimmt denn der Rest?

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