Direkter Beweis Teilbarkeiten

08.11.2017, 09:51

ForeRunner

Direkter Beweis Teilbarkeiten

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb{N}* \end{eqnarray*}$ mitt ggT(a, b) = 1. Dann folgt aus
$\begin{eqnarray*} a|n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b|n \end{eqnarray*}$ , dass auch $\begin{eqnarray*} ab|n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Ausdrückliche Aufforderung das direkt zu beweisen und nicht per Induktion.

Meine Ideen:
Hallo erstmal. Danke, dass ihr euch die Zeit nehmt.

Also hier mal mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} (\mathbb{N}*:= \mathbb{N}/0) \end{eqnarray*}$

Seien $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{N}* \end{eqnarray*}$ mit ggT(a,b) = 1, also a, b Teilerfremd, mit $\begin{eqnarray*} a|n, \exists k \in \mathbb{N}*: k * a = n \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} b|n, \exists l \in \mathbb{N}*: l * b = n \end{eqnarray*}$ .

Der Fall k = b ist trivial, weil daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} ab = n \end{eqnarray*}$ und l = a.
Somit teilt für den Fall k = b, l = a, ab unser n.

Seien nun $\begin{eqnarray*} k \neq b, l \neq a \end{eqnarray*}$ und a,b teilerfremd (wie gefordert), dann gilt, dass die erste Zahl die sowohl a, als auch b teilt, a*b ist. Somit gilt $\begin{eqnarray*} ab\leq n \end{eqnarray*}$ .

Weil a,b Teilerfremd sind, sind die einzigen Elemente aus N* die durch a und b teilbar sind,
die vielfachen von a*b $\begin{eqnarray*} (a\wedge b|ab , a\wedge b| 2ab , a\wedge b |3ab, a\wedge b|4ab....) \end{eqnarray*}$

Diese und nur diese teilen sowohl a als auch b wenn a und b teilerfremd sind.
Somit muss es ein $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ geben, für das gilt: $\begin{eqnarray*} ab * m = n \end{eqnarray*}$
Daher muss ab, n teilen, wenn a und b n teilen.

Reicht das als Beweis? Ist das überhaupt richtig? habt ihr Verbesserungsvorschläge oder so? Lerne immer gerne dazu smile

Liebe Grüße und danke schonmal.

08.11.2017, 14:11

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Direkter Beweis Teilbarkeiten

Zitat:

Original von ForeRunner
...
Seien nun $\begin{eqnarray*} k \neq b, l \neq a \end{eqnarray*}$ und a,b teilerfremd (wie gefordert), dann gilt, dass die erste Zahl die sowohl a, als auch b teilt, a*b ist. Somit gilt $\begin{eqnarray*} ab\leq n \end{eqnarray*}$ .
...
Weil a,b Teilerfremd sind, sind die einzigen Elemente aus N* die durch a und b teilbar sind,
die vielfachen von a*b $\begin{eqnarray*} (a\wedge b|ab , a\wedge b| 2ab , a\wedge b |3ab, a\wedge b|4ab....) \end{eqnarray*}$

Diese und nur diese teilen sowohl a als auch b wenn a und b teilerfremd sind.
...

Diese Teile verstehe ich nicht.
Sollte es nicht vielmehr heissen ... dass die erste Zahl, die sowohl von a und b geteilt wird, a*b ist.
-------
Und natürlich auch: ... diese und nur diese werden von a und auch b geteilt.

mY+

08.11.2017, 17:42

ForeRunner

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Direkter Beweis Teilbarkeiten
Ah ja gang genau, so war das auch gemeint, habe es nur falsch aufgeschrieben.
Stimmt das denn dann?

08.11.2017, 17:52

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir kommt der Beweis wie eine riesige Nebelkerze vor: Nachdem alles gründlich eingeräuchert ist, kommt ohne überzeugende Begründung

Zitat:

Original von ForeRunner
dann gilt, dass die erste Zahl die sowohl a, als auch b teilt, a*b ist

daher, die m.E. entscheidende Stelle. Wenn man das so einfach "sieht", dann kann man eigentlich auch gleich den ganzen Beweis weglassen. Augenzwinkern

Die Frage bei solchen Grundlagenbeweisen ist doch, was darfst du bereits hier verwenden? Wenn dir z.B. schon der Fundamentalsatz der Arithmetik (d.h. Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung) zur Verfügung steht, dann kann man ganz anders ranklotzen als wenn dies nicht der Fall ist und man mit schwächeren Aussagen auskommen muss.

08.11.2017, 20:03

ForeRunner

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja das war ein guter Tipp mit dem Fundamentalsatz der Arithmetik!
Ich habe mal versucht darüber zu argumentieren.

Aufgrunde des Fundamentalsatzes der Arithmetik, müssen a,b eindeutig in Primfaktoren zerlegbar sein.
Seien A und B Mengen, die die jeweiligen Primfaktoren der Primfaktorzerteilungen von a und b enthalten (Zur klarstellung A enthält Primfaktoren von a und B Primfaktoren von b).
Für diese gilt aufgrund der teilerfremdheit von a und b, $\begin{eqnarray*} A\cap B = \emptyset \end{eqnarray*}$

Sei C nun die Menge, die diePrimfaktoren der Primfaktorzerteilungen von $\begin{eqnarray*} (ab) \end{eqnarray*}$ enthält.
Für C gilt somit: $\begin{eqnarray*} C = A \cup B \end{eqnarray*}$ und daraus folgt dann natürlich $\begin{eqnarray*} A \subseteq C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \subseteq C \end{eqnarray*}$ .

Sei weiterhin N die Menge, die die Primfaktoren der Primfaktorzerteilungen von n enthält.

Wenn $\begin{eqnarray*} a \mid n \end{eqnarray*}$ dann folgt daraus $\begin{eqnarray*} \forall p \in A: p\mid n \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} A \subseteq N \end{eqnarray*}$ .
Gleiches gilt für b: $\begin{eqnarray*} b \mid n \Rightarrow \forall p \in B: p\mid n \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} B \subseteq N \end{eqnarray*}$ .

Das heißt, $\begin{eqnarray*} \forall p \in A: p \in N \end{eqnarray*}$ , als auch $\begin{eqnarray*} \forall p \in B: p \in N \end{eqnarray*}$

Wenn jedes Element aus A und jedes Element aus B in N ist, dann ist auch jedes Element aus $\begin{eqnarray*} A \cup B = C \end{eqnarray*}$ in N.

Daher: $\begin{eqnarray*} \forall p1 \in A: p1 \mid n,\forall p2 \in B: p2 \mid n \Rightarrow \forall p3 \in C: p3 \mid n \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann, wenn a,b teilerfremd und $\begin{eqnarray*} a \mid n, b \mid n \end{eqnarray*}$ dann folgt daraus, $\begin{eqnarray*} ab \mid n \end{eqnarray*}$

Damit ist die Ursprüngliche Aussage gezeigt.

Macht das mehr Sinn, bzw. ist das überhaupt richtig?

08.11.2017, 20:47

ForeRunner

Auf diesen Beitrag antworten »

Dafür müssten jedoch A,B und C jeweils nicht nur jeden Primfaktor einmal enthalten können
sondern so oft wie eben nötig. z.b. die Primfaktoren für 8 wären 2*2*2 aber wäre a=8
dann wäre in A ja nur einmal die 2. Kann man Mengen irgendwie definieren, dass das möglich ist?

Neue Frage »

Antworten »

Direkter Beweis Teilbarkeiten

Verwandte Themen