Bestimmung des inversen Elements

08.11.2017, 18:34	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung des inversen Elements Meine Frage: Ich soll überprüfen, ob K:={ $\begin{eqnarray} (a, b) \in \mathbb R ^{2} :a, b \in \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ } eingeführt mit folgender Addition und Multiplikation: (a,b)+(a',b') := (a+a',b+b') (a,b)(a',b') : = (aa'+2bb',ab'+ba') ein Körper ist. Meine Ideen:* Die Axiome der Addition konnte ich erfolgreich überprüfen. Bei den Axiomen der Multiplikation scheitere ich: Als neutrales Element habe ich (1,0). Das ist ja eindeutig, also muss jedes (a,b) aus K multipliziert mit dem inversen Element (1,0) sein. Also: (a,b)* $\begin{eqnarray} (a^{-1} ,b^{-1} ) \end{eqnarray}$ =(1,0) Ich wusste nicht, wie ich das bestimmen kann, also habe ich mir das einfach mal (5,9) angeschaut: $\begin{eqnarray} 5a^{-1}+29* b^{-1} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5b^{-1}+9a^{-1} = 0 \end{eqnarray}$ Ich hab die untere Gleichung umgeformt und in die obere eingesetzt: $\begin{eqnarray} b^{-1}=- \frac{9}{5} a^{-1} \end{eqnarray}$ einsetzen: $\begin{eqnarray} 5a^{-1}+29(- \frac{9}{5} a^{-1} )= 1 <=> 5a^{-1}-\frac{162}{5} a^{-1} =1 <=> a^{-1}=-\frac{5}{137} \end{eqnarray}$ Und damit $\begin{eqnarray} b^{-1}=\frac{9}{137} \end{eqnarray*}$ Ich weis jetzt, dass das inverse zu a negativ und das inverse zu b positiv sein muss, und im Nenner steht das Element selbst, aber wie ich jetzt auf eine allgemeine Bezeichnung für das Inverse Element komme, weis ich nicht :/ Gibt es da irgend nen Trick, oder muss man da ewig rumprobieren?
08.11.2017, 19:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
genau so ergibt sich allgemein $\begin{eqnarray} \overline a=\frac a{a^2-2b^2},\overline b=-\frac b{a^2-2b^2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a,b)^{-1}=(\overline a,\overline b) \end{eqnarray}$
08.11.2017, 20:03	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, da hätte ich auch drauf kommen, dass das mit den Quadraten von a und b zusammenhängt ._. Danke, dass du mir geholfen hast, ich hocke schon ewig auf dem Schlauch! Aber wie begründe ich, dass das das inverse Element ist? "Habe rumprobiert" ist jetzt nicht gerade elegant gelöst
08.11.2017, 20:20	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir kommt gerade, dass ich es ja einfach mit (a,b) multiplizieren muss, und wenn (1,0) rauskommt, ist es ja bewiesen für alle (a,b) aus K... Jetzt seh ich schon das offensichtlichste nicht mehr.
09.11.2017, 11:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, nach der Berechnung ist das die Probe. Haben wir in der Schule nach jeder Lösung eines Gleichungssystems genau so gemacht. An der Uni sollte man das auch machen, wenn die Zeit reicht, denn das erhöht die Sicherheit. Im Berufsleben muss man das unbedingt machen, sonst wird man für die Millionenschäden haftbar gemacht, die man durch Rechenfehler verursacht.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »