Eigenwert, injektiv

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bittehelfen123 Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert, injektiv
Meine Frage:
Hallo, ich hänge an der Aussage:
ein Eigenwert ist so definiert, dass x*Id-T nicht injektiv ist, wobei die Aussage x*Id-T ist surjektiv, äquivalent dazu ist.
1. Unsicherheit ist, wieso diese Forderung den Eigenwert definiert &
die 2. wieso ist die Aussage für injektiv äquivalent zur Aussage, dass diese surjektiv ist?

Meine Ideen:
es geht hier um endlich dimensionale Vektorräume.z.B die dimension ist n. T: V nach V ist lineare Abbildung.
die Definition zu Eigenvektor und Eigenwert ist: v aus V heißt Eigenvektor von T, wenn v nicht Nullvektor ist und es ein x aus K(Körper) mit T*v=x*v . und x heißt dabei Eigenwert von T zum Eigenvektor v .


zu 1. eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn der Kern von T nur aus dem Nullvektor besteht.
da aber v nach Definition von Eigenvektor nicht 0 sein darf , kann T nicht surjektiv sein, weil der Nullvektor nicht eingesetzt werden darf. stimmt die begründung?
zu2. wieso ist das Bild von T nicht ganz V?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

1. in der Linearen Algebra, also - wie du schreibst - für endlichdimensionale Vektorräume ist diese Definition durchaus etwas merkwürdig. Sie ist eigentlich für allgemeinere Zusammenhänge gedacht, nämlich für lineare Operatoren zwischen Hilbert- bzw. Banachräume und für Spektraltheorie.

Nun:
x*Id-T nicht injektiv
<=> (vgl. deine Idee zu 1.)
der Kern von x*Id-T besteht nicht nur aus dem Nullvektor
<=>
die Gleichung (x*Id-T)v=0 hat nichttriviale Lösungen für v
<=>
die Gleichung Tv=xv hat nichttriviale Lösungen für v
<=>
x ist ein Eigenwert von T.

(Dass die Gleichung Tv=xv nichttriviale Lösungen für v hat, definiert m.E. in der LA 'normalerweise' einen Eigenwert x.)

2. Eine n x n-Matrix T kannst du auffassen als lineare Abbildung T: |R^n->|R^n (wobei man genau genommen dazusagen muss - unter Fixierung der Standardbasis). Relativ elementar sieht man:

-> T surjektiv <=> die Spalten von T bilden ein Erzeugendensystem,
-> T injektiv <=> die Spalten von T bilden eine linear unabhängige Menge.

Wenn du nun noch berücksichtigst, dass T genau n Spalten hat und der Bildraum aber ja genau gerade zufällig auch Dimension n (weil T auch n Zeilen hat), dann kannst du den Satz aus der LA1 anwenden:
"n Vektoren in einem n-dimensionalen Raum sind l.u. genau dann, wenn sie ein Erzeugendensystem sind",
dann hast du die gewünschte Behauptung.
(Häufig zeigt man das auch über Spaltenrang = Zeilenrang.)

Grüße
sibelius84
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