Beweisverständnis

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08.11.2017, 22:47	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisverständnis Hallo, es geht um den wsl einfachen Beweis von folgendem: $\begin{eqnarray} c \mathbb Z = a \mathbb Z +b \mathbb Z \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb Z \wedge a,b \neq 0 \end{eqnarray}$ Jetzt soll gelten: c\|a und c\|b. Wie sehe ich das?
09.11.2017, 12:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Idealtheorie bekannt ? Summe von Idealen bekannt ? $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ Hauptidealring bekannt ? Definition von ggT in Ringen bekannt ? Wenn ja, dann ist alles klar, wenn nicht, muss einer von uns beiden anfangen nachzudenken.
09.11.2017, 13:02	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist nur die Defintion bekannt das aZ +bZ = cZ mit c=ggt(a,b). Wenn das gilt und $\begin{eqnarray} a, b \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ Dann gilt doch a=qc und b=rc . D.h aber c teilt a und c teilt b. Ich kann mir das irgendwie nicjt so gut vorstellen. 2Z z.b ist also eine Struktur die wohl alle Vielfachen von 2 enthält und die entsprechenden Inversen? Wie kann ich mir dann so eine Summe aZ +bZ vorstellen?
09.11.2017, 14:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Woher weißt du, dass c=ggT(a,b) ist ? Wenn das so ist, dann ist es klar, dass c ein Teiler von a und b ist, denn es ist ja der (größte gemeinsame) Teiler. Vorstellung : $\begin{eqnarray} 15\mathbb Z+35\mathbb Z=\{15x+35y:x,y\in \mathbb Z\}= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\{...,154+35(-2)=-10,152+35(-1)=-5,150+350=0,15(-2)+351=5,15(-4)+352=10,...\}=\{...,-10,-5,0,5,10,...\}= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =5\mathbb Z=ggt(15,35)\mathbb Z \end{eqnarray}$
09.11.2017, 15:18	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweisverständnis Ich habe nochmal nachgeschaut. Die Aussage war folgende: $\begin{eqnarray} c \mathbb Z = a \mathbb Z +b \mathbb Z \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb Z \wedge a,b \neq 0 \end{eqnarray}$ Dann gelten folgende Dinge: 1. c= ak +bl für geeignte $\begin{eqnarray} k,l \in mathbb Z \end{eqnarray}$ 2. c\|a und c\|b 3. d\|a und d\|b daraus folgt d\|c Dann haben wir gesagt: zu 2.) $\begin{eqnarray} a,b \in cZ \end{eqnarray}$ daraus folgt eben c\|a und c\|b zu 3.) $\begin{eqnarray} a,b \in dZ \end{eqnarray}$ daraus folgt ak+bl Element dZ also gilt d\|c mit 1.) Zur Vorstellung: Das 4 und (-2) sind willkürlich in der 1. Menge. Was machst du dann nach dem 1. "=". Wie formst du da um?
09.11.2017, 18:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach dem 1. = schreibe ich die Summe der Ideale als Menge ihrer Elemente. Nach dem 2. = wähle ich willkürlich kleine Zahlen, so dass ich die betragsmäßig kleinsten Zahlen tatsächlich hinschreibe. Nach dem 3. = schreibe ich nur noch die berechneten Zahlen. Nach dem 5.= steht die Menge als Ideal da. Nach dem 6. = mache ich klar, dass der ggT der beiden Erzeuger der beiden Summanden in der Summe der Ideale tatsächlich der Erzeuger des Summenideals ist. Da du sagtest, du könntest dir das nicht vorstellen, stelle ich dir an einem Beispiel vor, wie ich mir das vorstelle.
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09.11.2017, 18:47	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Erklärung. Ich muss erstmal nachschauen was ein Ideal ist. Das haben wir nicht definiert. Aber z.b 3Z beschreibt einfach alle vielfachen von 3 und ihre Inversen? Ich melde mich dann nochmal
09.11.2017, 19:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
3Z sind alle ganzzahligen Vielfachen von 3 : JA Falls du mit invers das multiplikative inverse 1/3 meinst : NEIN
09.11.2017, 21:54	SimonMathe1	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry ich meine -3,-6....
10.11.2017, 09:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind additive inverse von $\begin{eqnarray} 3,6,... \end{eqnarray}$ Das ist aber völlig egal, denn sie liegen wegen $\begin{eqnarray} -3=3(-1),-6=3(-2),... \end{eqnarray}$ selbst in $\begin{eqnarray} 3\mathbb Z \end{eqnarray}$ , d.h. sie sind genau wie $\begin{eqnarray} 0,3,6,... \end{eqnarray}$ Vielfache von $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$

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