Identisch, modulo

09.11.2017, 12:29	Opher19782808	Auf diesen Beitrag antworten »
Identisch, modulo Meine Frage: a) 4 $\begin{eqnarray} \equiv 18 (mod \, n) n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ b) Finden Sie ganze Zahl z: 3 $\begin{eqnarray} \equiv z (mod \, 9) \end{eqnarray}$ c) Finden Sie zwei unterschiedliche ganze Zahlen z1, z2 mit \|z1\| < 9 und \|z2\| < 9 so dass $\begin{eqnarray} 4102^{10} \equiv z(mod \, 9) \end{eqnarray}$ d) Ist das folgende System von Modulgleichungen lösbar? $\begin{eqnarray} x \equiv 3 (mod \, 5) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \equiv 7 (mod \, 10) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: zu a) Dann ist n (eindeutig) = 14? zu b) z=k*9-3 mit k ganze Zahl? zu c) z1 = 7, ist z2=-2 ? zu d) Geht es? Wenn ja, ist im Negativen zu suchen, oder?
09.11.2017, 12:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Nein: $\begin{align} 4\equiv 18\bmod n \end{align}$ bedeutet lediglich, dass $\begin{align} n\mid (18-4) \end{align}$ , also $\begin{align} n\mid 14 \end{align}$ . Neben 14 erfüllen das auch noch die Zahlen 7, 2, 1. b) Falsches Vorzeichen: z=9k+3 wäre richtig. c) ist richtig. d) Es geht nicht: $\begin{align} x\equiv a\bmod m \end{align}$ erfordert $\begin{align} x\equiv a\bmod t \end{align}$ für jeden (!)* Teiler $\begin{align} t \end{align}$ von $\begin{align} m \end{align}$ . Das bedeutet, dass $\begin{align} x\equiv 7\bmod 10 \end{align}$ für t=5 auch $\begin{align} x\equiv 7\equiv 2\bmod 5 \end{align}$ erfordert, was der anderen modulo5-Bedingung klar widerspricht.

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