Einheit von Ring bei multiplikativen Inversen |
| 09.11.2017, 21:03 | wndrbar | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Einheit von Ring bei multiplikativen Inversen bin hier fast am verzweifeln. Habe eine Hand voll dieser Art von Aufgaben zu erledigen und wollte Fragen ob jemand Zeit, Lust un Interesse daran hat mir folgende Aufgabe für ich als Muster für kommende Aufgaben dieses Schemas vor - auszurechnen. Die Aufgabe lautet wie folgt: Sei R ein Ring. Ein Element x ∈ R heißt Einheit von R, wenn x ein multiplikatives Inverses x hoch −1 ∈ R hat. Die Menge der Einheiten schreiben wir als R hoch × ⊂ R. a) Zeigen Sie: Sind x, y ∈ R beides Einheiten, so ist ihr Produkt xy ebenfalls eine Einheit, also: x, y ∈ R hoch × =⇒ xy ∈ R hoch × . b) Zeigen Sie, dass R hoch × eine Gruppe bezüglich Multiplikation ist. c) Bestimmen Sie die Einheitengruppe R hoch × ⊂ R in folgenden Beispielen: (i) R = Z (als Ring mit der üblichen Multiplikation und Addition), (ii) R = R[x] (der Polynomring mit der üblichen Multiplikation und Addition). Bemerken Sie: Nach Definition ist ein kommutativer Ring R ein Körper, falls 0 ungleich 1 und R hoch × =R\{0}. Liebe Grüße |
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| 09.11.2017, 21:20 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo wndrbar, (Muster-)Lösungen werden hier grundsätzlich nicht geschrieben, auch nicht exemplarisch für einen Stapel von Hausaufgaben. Es würde mich interessieren, wie die restlichen Aufgaben aussehen. Normalerweise wird beim Erstellen eines Übungszettels im Mathestudium immer auf eine gewisse Vielseitigkeit geachtet und nicht dasselbe zweimal gefragt. (Ausnahme sind möglicherweise mal einzelne Zettel voller Integrale oder dgl. (oder DGL 
) am Semesterende, so quasi "Ingenieurzettel für Mathematiker zum Üben und Punktesammeln"; aber Ausnahmen bestätigen ja bekanntlich die Regel.) Geholfen wird aber immer gerne.Damit ein Element z eine Einheit ist, muss es ja ein weiteres Element t geben, das man dranmultipliziert und es kommt 1 raus: zt=1. (Dann ist t=z^(-1).) Wie könntest du nun ein Element basteln, das du an xy anmultiplizierst, sodass 1 herauskommt? (Tipp: Erst das y 'löschen' und dann das x) Ist dir klar, was du zeigen musst, damit etwas eine Gruppe ist? (Gruppen haben ja eine Definition.) Mit c) sollten wir warten, bis wir bei a) und b) einen Fuß in der Tür haben. LG sibelius84 |
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