Ungleichung mit Cosinus

10.11.2017, 01:18

LeFagnard

Ungleichung mit Cosinus

Meine Frage:
Ich muss folgende Ungleichung lösen: $\begin{eqnarray*} 2\cos(2x)-\sqrt{2} \leq 0 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Das ergibt erst einmal: $\begin{eqnarray*} \cos(4x) \leq \sqrt{2} /2 \end{eqnarray*}$

Nach Umrechnung ergibt das: $\begin{eqnarray*} 4x\leq \pm 45°+ k.360° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 45° + k.360°\leq 4x\leq 315° + k.360° \end{eqnarray*}$

Jetzt noch durch 4 teilen und wir erhalten:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 11,25° + k.90°\leq x\leq 78,75° + k.90° \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig? Ich bin mir nicht sicher...

Danke für Eure Hilfe

10.11.2017, 01:45

Dopap

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RE: Ungleichung mit Cosinus

Zitat:

Original von LeFagnard
Meine Frage:
Ich muss folgende Ungleichung lösen: $\begin{eqnarray*} 2\cos(2x)-\sqrt{2} \leq 0 \end{eqnarray*}$ .

Das ergibt erst einmal: $\begin{eqnarray*} \cos({\color{red}4}x) \leq \sqrt{2} /2 \end{eqnarray*}$

Woher kommt die rote 4 verwirrt

10.11.2017, 07:50

HAL 9000

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Selbst wenn wir diesen Fehler korrigieren, ist dieser Schluss

Zitat:

Original von LeFagnard (korrigiert)
$\begin{eqnarray*} \cos(2x) \leq \sqrt{2} /2 \end{eqnarray*}$

Nach Umrechnung ergibt das: $\begin{eqnarray*} 2x\leq \pm 45°+ k.360° \end{eqnarray*}$

komplett falsch: In dieser Schlussweise steckt wohl implizit drin, dass diese Kosinusfunktion monoton wachsend ist. Was z.B. im Grundintervall $\begin{align*} \left[0,\frac{\pi}{2}\right]=\left[0,90^{\circ}\right] \end{align*}$ , also dort wo auch die Umkehrfunktion greift, schon nicht stimmt: Dort ist sie monoton fallend.

Insgesamt gibt der Graph schon mal Aufschluss, was passiert:

Lösung der Ungleichung sind nun alle x, wo die rote Kurve unter der grünen liegt!

EDIT: Komischerweise widersprichst du dir direkt danach selbst

Zitat:

Original von LeFagnard (korrigiert)
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 45° + k.360°\leq 2x\leq 315° + k.360° \end{eqnarray*}$

Das kommt dann schon eher hin. Wobei äußerst fragwürdig ist, woher bei der Vorrede das $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ kommen soll. Augenzwinkern

10.11.2017, 13:15

LeFagnard

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Oh, sorry, die Ungleichung ist tatsächlich $\begin{eqnarray*} 2\cos(4x)-1\leq 0 \end{eqnarray*}$ sein.
Entschuldigung. Ich war wohl nicht mehr richtig wach um 2:30 Uhr...

Bei meiner Schreibweise hatte ich nicht berücksichtigt, dass Cosinus nicht monoton wachsend ist.

Frage, und da hab ich sehr viel Schwierigkeiten:

Wie schreibt man in diesem Fall die Lösungsmenge mathematisch richtig?
(Mit Latex finde ich nicht die richtigen Buchstaben und der letzte vertikale Strich ist zuviel...)
Ich würde $\begin{eqnarray*} L= \left\{ x\in R| 15°+k.90°\leq x\leq 75°+k.90°,k\in Z|\right\} \end{eqnarray*}$ schreiben.

10.11.2017, 14:00

mYthos

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$\begin{eqnarray*} \cos 4x \leq \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

OK smile

mY+

10.11.2017, 14:26

LeFagnard

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Hi mYthos,

ja, den Graphen hab ich verstanden.

Die Frage bezog sich aber auf die mathematische Schreibweise der Lösungsmenge.
Vielen Dank.

11.11.2017, 14:22

mYthos

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.. stand auch oben: OK smile

11.11.2017, 14:28

LeFagnard

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Hallo mYthos.

Ich war mir nicht sicher ob du den Graphen oder die Schreibweise der Lösungsmenge meintest.
Vielen Dank für die zweite Antwort und für Deine Ausdauer und Zeit.

Schöne Grüße aus Ostbelgien.
A+

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