Hat jede Kurve eine Parametrisierung nach der Bogenlänge?

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MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
Hat jede Kurve eine Parametrisierung nach der Bogenlänge?
Hey Leute,

wie der Name es Themas schon lautet:
"Hat jede Kurve eine Parametrisierung nach der Bogenlänge?"

Ich würde behaupten JA, denn man muss nur in Inverse der Länge des Weges bilden und für in die Parametrisierung einsetzen.

Jetzt war aber diese Aussage laut einem Multiple Choice Quiz falsch. Liege ich nun richtig oder kann mir jemand eine Kurve nennen, die sich nicht nach der Bogenlänge parametrisieren lässt?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Jede reguläre Kurve lässt sich nach der Bogenlänge parametrisieren. Ansonsten muss die Länge des Weges nicht injektiv sein, insb. nicht invertierbar.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Wann genau ist eine Kurve "regulär"?

Und kannst du ein Beispiel für eine Kurve nennen, die deren Weglänge nicht injektiv ist?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Kurve heisst regulär, wenn ihre Ableitung nirgendwo verschwindet.

Dementsprechend: mit ist nicht regulär; ferner ist sie nicht nach Bogenlänge parametrisierbar.

Edit: Kurve verbessert. Nun ist sie differenzierbar.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

danke! smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@IfindU

Ich weiß jetzt nicht, wo mein Denkfehler liegt, aber für mich sieht



durchaus nach einer passenden Parametrisierung deiner Kurve nach der Bogenlänge aus. verwirrt
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist die Stelle . Deine Kurve ist dort nicht mehr differenzierbar. Wenn du es dir aufmalst, hat sie dort einen Knick. Bei nicht-regulären Kurven kann man Knicke erlauben, da man dort erst einmal komplett abbremst, und erst dann die Richtung ändert.

Edit: Ich glaube meine Funktion stellt nicht das dar, was ich von ihr gerne hätte. Sekunde...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na und? Knick hin oder her, die Kurve hat doch dennoch eine Länge.


Ich hätte bei Gegenbeispielen eher an Kurven gedacht, die keine endliche Länge besitzen, d.h., auch lokal nicht. Selbst bei stetigen Kurven ist das nicht immer der Fall, siehe etwa Fraktale wie die Schneeflockenkurve.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Parametrisierung nach Bogenlänge fordert man doch überall. Oder habe ich eine zu strikte Definition im Kopf?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mir würde f.ü. völlig genügen. Augenzwinkern
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Abschwächtung werden Lipschitz-stetige Kurven wohl nach Bogenlänge parametrisiert werden können. Die Aussage am Anfang ist natürlich selbst dann noch falsch, weil man -- wie du angemerkt hast -- ja nicht einmal Lipschitz-stetig fordert.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Das interessiert mich jetzt aber auch. Die Definition von IfindU kenne ich auch so. Scheinbar haben wir jetzt eine nicht reguläre Kurve gefunden, die sich nach der Bogenlänge parametrisieren lässt?

Edit: Da war ich wohl zu langsam. Wenn ihr euch bei der Lipschitz Stetigkeit einig seid, dann habe ich eine gute Merkregel für mich gefunden! smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Formulierung am Anfang war etwas unglücklich, weswegen ich es geändert habe. Reguläre Kurven können immer nach Bogenlänge parametrisiert werden. Aber das ist kein "genau dann wenn".

Und mit "meiner" Definition, ist das von mir immer noch ein Beispiel einer nicht-regulären Kurve, die zusätzlich keine Bogenlängenparametrisierung zulässt.

Mit HALs schwächeren Eigenschaft, wäre das kein Gegenbeispiel mehr. Es gibt dennoch Gegenbeispiele (Kurven mit unendlicher Länge).
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Danke ich habs verstanden! Die Lücken werden immer kleiner smile
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