Kurvenintegral Bedeutung (am Beispiel)

10.11.2017, 13:03

MasterWizz

Kurvenintegral Bedeutung (am Beispiel)

Hey Leute,

ich habe hier eine sehr leichte Aufgabe, die ich auch gelöst habe, nur das Ergebnis an einem Plot nicht interpretieren kann.

Gesucht ist die geleistete Arbeit entlang eines (geschlossenen) Kreises durch das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} v=\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) \end{eqnarray*}$ . Auch ohne Rechnung ist leicht erkennbar, dass die verrichtete Arbeit = 0 ist, weil es sich bei v um ein konservatives Kraftfeld handelt und der Weg geschlossen ist.

Aber ich verstehe nicht den Plot im Anhang. Wenn ich den Weg entlang "laufe", wirkt in jedem Punkt eine Kraft auf mich, die mich vom Kreis "wegdrückt". Ich muss mich doch umso mehr anstrengen nicht vom Kreis abzukommen. Wieso ist meine verrichtete Arbeit gleich Null, wenn ich am Ziel ankomme? Nach meinem Verständnis müsste die Arbeit mit der Länge des Weges zunehmen.

[attach]45628[/attach]

10.11.2017, 13:39

Huggy

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RE: Kurvenintegral Bedeutung (am Beispiel)

Zitat:

Original von MasterWizz
Aber ich verstehe nicht den Plot im Anhang. Wenn ich den Weg entlang "laufe", wirkt in jedem Punkt eine Kraft auf mich, die mich vom Kreis "wegdrückt". Ich muss mich doch umso mehr anstrengen nicht vom Kreis abzukommen. Wieso ist meine verrichtete Arbeit gleich Null, wenn ich am Ziel ankomme? Nach meinem Verständnis müsste die Arbeit mit der Länge des Weges zunehmen.

Das liegt zunächst mal simpel daran, dass du dich nicht an die Definition von Arbeit hältst. Arbeit ist definiert als

Arbeit= Kraft mal Weg

wobei hier nur der Weganteil parallel oder antiparallel zur Kraft gemeint ist. Mehr mathematisch ist die Arbeit dann als Kurvenintegral

$\begin{eqnarray*} A=\int\limits_\gamma \vec F \cdot d\vec s \end{eqnarray*}$

über einen Weg $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ definiert. Da in deinem Beispiel der Weg immer senkrecht zur Kraft gerichtet ist, gibt es keinen Weganteil parallel oder antiparallel zur Kraft und die Arbeit ist deshalb Null.

Nun mag dir diese Definition der Arbeit nicht gefallen, schließlich musst du tatsächlich über eine bestimmte Zeit eine Kraft entgegen dem Kraftfeld ausüben, um einen Körper auf dem Kreis zu bewegen. Das geht vielen so. Viel natürlicher erscheint einem eine Definition

Arbeit = Kraft mal Zeit

Selbstverständlich könnte man auch eine solche Definition treffen. Aber Definitionen setzen sich nur dann durch, wenn sie sich als nützlich erweisen. Die herkömmliche Definition der Arbeit gestattet die Formulierung des Energiesatzes und das ist eine sehr nützliche Eigenschaft dieser Definition. Die alternative Definition weist solch nützliche Eigenschaften nicht auf. Daher hat sich die herkömmliche Definition der Arbeit durchgesetzt.

10.11.2017, 14:31

MasterWizz

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RE: Kurvenintegral Bedeutung (am Beispiel)
Wow Huggy, vielen Dank, ich hab es einfach verstanden!

Nur für meine Vorstellungkraft noch ein kleines Beispiel:
Wir betrachten das selbe Vektorfeld und diesmal als Weg die Archimedische Spirale $\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c}t\cdot\sin(t)\\t\cdot\cos(t)\end{array}\right),\quad t\in[a,b] \end{eqnarray*}$ .

Die Arbeit berechnet sich also zu $\begin{eqnarray*} A=\int_a^b v^T\cdot\gamma'(t)\,\mathrm{d}t=\dots =\int_a^b t\,\mathrm{d}t = \frac12 (b^2-a^2) \end{eqnarray*}$ . Das ergibt Sinn, da die Kurve nicht geschlossen ist.

Hätte ich aber nur das Bild im Anhang betrachtet, würde ich sagen der Weg verläuft nirgends parallel oder antiparallel zur Kraft (wie im Beispiel mit dem Kreis). Doch scheinbar täuscht mich mein Auge. Oder ist für dich sogar am Bild sofort ersichtlich, wo eine Tangente an der Spirale parallel zum Kraftfeldes verläuft?

[attach]45632[/attach]

Edit: Im Bild ist $\begin{eqnarray*} t\in[0,4\pi] \end{eqnarray*}$

10.11.2017, 14:45

Huggy

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RE: Kurvenintegral Bedeutung (am Beispiel)
Der Weg parallel oder antiparallel zur Kraft ist so verstehen: Man betrachtet Weg und Kraft beide als Vektoren. Diese Vektoren stehen in einem Winkel zueinander. Der wird im allgemeinen nicht gerade exakt 0 ° oder 90 ° sein. Jetzt spaltet man den Wegvektor (oder den Kraftvektor) in eine Komponente parallel und eine Komponente senkrecht zur Kraft auf. Antiparallel ist nur eine Frage des Vorzeichens. In die Arbeit geht per Definition nur die Komponente parallel zur Kraft ein. Bei deiner Spirale ist dies Komponente immer ungleich Null.

10.11.2017, 14:57

MasterWizz

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RE: Kurvenintegral Bedeutung (am Beispiel)
Sry falls ich mit dem Thema nerve, aber mir ist grad nicht ganz klar, was du mit aufspalten meinst. Redest du von Vektoraddition und -subtraktion oder gibt es da einen physikalischen Zusammenhang, den ich nur nicht kenne?

10.11.2017, 15:25

Huggy

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RE: Kurvenintegral Bedeutung (am Beispiel)
Das ist zunächst mal ein mathematischer Zusammenhang. Wenn man (in der Ebene) einen Vektor $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ hat, kann man ihn aufspalten in $\begin{eqnarray*} (x,y)=(x,0)+(0,y) \end{eqnarray*}$ . Das wäre eine Aufspaltung in Richtung der beiden Koordinatenachsen. Man kann ihn aber auch in beliebige Richtungen $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ aufspalten

$\begin{eqnarray*} (x,y)=\lambda \vec a + \mu \vec b \end{eqnarray*}$

solange $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ nicht parallele Vektoren sind. Das meinst du wohl mit Vektoraddition. Bei der Definition der Arbeit wählt man $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ parallel zur Kraft und $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ senkrecht zur Kraft.

Mathematisch kann man das immer machen. Physikalisch sinnvoll ist das aber nur, wenn diese Aufspaltung oder umgekehrt diese mathematische Addition zum physikalischen Verhalten passt. Wenn auf einen Körper zwei Kräfte $\begin{eqnarray*} \vec F_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec F_2 \end{eqnarray*}$ wirken, bewegt sich der exakt so, als ob auf ihn nur eine Kraft $\begin{eqnarray*} \vec F= \vec F_1 + \vec F_2 \end{eqnarray*}$ wirken würde. Das ist eine physikalische Erfahrungstatsache. Sie kann nicht aus der mathematisch immer möglichen Vektoraddition oder Vektoraufspaltung geschlossen werden. Diese physikalische Relevanz erklärt aber die Bedeutung der mathematischen Operation in der Physik. Und umgekehrt geht natürlich das mathematische Interesse an dieser Operation stark zurück auf ihre physikalische Relevanz.

10.11.2017, 15:38

MasterWizz

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RE: Kurvenintegral Bedeutung (am Beispiel)
Wahnsinn, DANKE! Ich bin echt beeindruckt, wie du dein physikalisches Verständnis mathematisch ausdrücken kannst smile

10.11.2017, 15:44

Huggy

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RE: Kurvenintegral Bedeutung (am Beispiel)
Auch ich bedanke mich! Solche Komplimente genieße ich wie ein Honigbrötchen zum Frühstück.

10.11.2017, 15:54

ML_

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RE: Kurvenintegral Bedeutung (am Beispiel)

Zitat:

Original von MasterWizz
Sry falls ich mit dem Thema nerve, aber mir ist grad nicht ganz klar, was du mit aufspalten meinst. Redest du von Vektoraddition und -subtraktion oder gibt es da einen physikalischen Zusammenhang, den ich nur nicht kenne?

Noch eine kleine Ergänzung, die sich hier anbietet:
Da das Feld rotationsfrei ist, kannst Du für die Berechnung der Arbeit auch den direkten Weg vom Start- zum Zielpunkt gehen. Es kommt dann die gleiche Arbeit heraus wie über den Spiralweg. Auf diese Weise siehst Du sofort, dass Du bei Deiner Bewegung tatsächlich eine Komponente in Feldrichtung bzw. entgegen der Feldrichtung hast.

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