Beweis einer Formel für das Volumen eines Tetraeders

10.11.2017, 15:17	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer Formel für das Volumen eines Tetraeders Hallo zusammen, folgendes Problem: Zeigen Sie, dass das Volumen eines Tetraeders, der von drei nicht in einer Ebene liegenden Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \end{eqnarray}$ aufgespannt wird, durch $\begin{eqnarray} V=&&\frac{1}{6}\|(\vec{a}\times \vec{b})\vec{c}\| \end{eqnarray}$ gegeben ist. ich habe bisher: $\begin{eqnarray} V=&&\frac{1}{3}g+h\\g=&&\\|(C-A)\times(B-A)\\|\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Wenn ich die Spitze des Tetraeder Minus den Schwerpunkt rechne und das Ergebnis zum Betrag, dann habe ich jedoch das S in der Formel. Und das ist zum beweisen des gewünschten Ausdrucks nicht wirklich Hilfreich. Hat einer von euch vielleicht eine Idee wie man die Höhe ohne das die Spitze des Tetraeders bekommt? Vielen Dank LG
10.11.2017, 17:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Grundfläche + Höhe = Volumen ? Das überrascht mich sehr.
11.11.2017, 14:03	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ouw tut mir Leid, da habe ich mich wohl verschrieben natürlich wird die Grundfläche mit der höhe multipliziert.
11.11.2017, 14:16	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hinweis: Spatprodukt Erklärung: Die Höhe der Pyramide ist die Länge der Projektion einer Seitenkante (AS) auf den (schon berechneten) Normalvektor $\begin{eqnarray} \vec n = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \end{eqnarray}$ Und dies hat etwas mit dem Skalarproduktes zu tun. Hilft das so weit? mY+
11.11.2017, 14:33	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht habe ich auch gerade eine Denkblockade, aber habe ich dann durch die Seitenkante AS nicht das Problem, dass das S in der Formel auftaucht?? I
11.11.2017, 14:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut es ja auch! In der Formel hast du $\begin{eqnarray} \vec c \end{eqnarray}$ stehen, das ist eben der Vektor $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AS} \end{eqnarray}$ . S ist die Spitze. mY+
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13.11.2017, 14:07	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay vielen Dank ich habe es jetzt verstanden

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