Zusammenhängend

10.11.2017, 17:01

Jefferson1992

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Zusammenhängend

Hallo Ihr Lieben,

Bei mir hapert es mal wieder am Verständnis.

Kann mir mal jemand irgendwie Bildlich oder durch irgendeine schlaue Intuition erklären, was es mit zusammenhängend auf sich hat?

Definition, die wir haben ist folgende:

$\begin{eqnarray*} A\subset R^n \end{eqnarray*}$ ist zusammenhängend, wenn es U,V offen gibt mit $\begin{eqnarray*} A=U \cup V \end{eqnarray*}$ und aus $\begin{eqnarray*} U\cap V =\emptyset \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} U=\emptyset \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} V= \emptyset \end{eqnarray*}$

Heißt das nicht, dass A dann U oder V sein muss?

Warum ist dann: $\begin{eqnarray*} U=\left\{1,2,3\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V=\left\{4,5,6\right\} \end{eqnarray*}$ nicht zusammenhängend? Die haben doch auch nichts gemeinsam, die Vereinigung könnte doch durchaus $\begin{eqnarray*} A=\left\{1,2,3,4,5,6\right\} \end{eqnarray*}$ sein?

Danke!

10.11.2017, 17:10

IfindU

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RE: Zusammenhängend
Stimmt. Aber $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist nicht zusammenhängend. Das Intervall $\begin{eqnarray*} [1,6] \end{eqnarray*}$ wäre hingegen zusammenhängend. Versuche mal dort disjunkte $\begin{eqnarray*} U,V \end{eqnarray*}$ zu finden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit der Standardtopologie ist Zusammenhängend das gleiche wie Wegzusammenhängend FALLS DIE MENGE OFFEN IST . Und Wegzusammenhängend heißt eine Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , wenn für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in A \end{eqnarray*}$ eine Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ existiert, die $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ verbindet, und komplett in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ verläuft.

Edit: Dank Hinweis von Nick verbessert.

Edit 2: Offenbar bin ich schwer von Begriff. Aussage erneut verbessert. Ich hoffe nun stimmt es.

10.11.2017, 17:21

Jefferson1992

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Kann man bei dem Intervall nicht $\begin{eqnarray*} U=\left\{1\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V=\left\{6\right\} \end{eqnarray*}$ nehmen?

10.11.2017, 17:26

IfindU

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Du willst schon noch, dass $\begin{eqnarray*} U \cup V = A \end{eqnarray*}$ ergibt. Und $\begin{eqnarray*} \{ 1, 6 \} \neq [1,6] \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Ausserdem sind die Mengen nicht offen (bzgl. der Relativtopologie von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ).

10.11.2017, 17:29

Jefferson1992

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hmm, stimmt tatsächlich. Das wird schwierig.

Aber könnte ich nicht Teilintervalle nehmen?

Ja okay, das würde nur gehen, wenn ich nur ganze Zahlen betrachte, dann könnte ich doch:

U=[1,3] und V=[4,6] nehmen. Da ich aber reelle Zahlen hab, geht das nicht, da ich immer eine Zahl vergesse. Sehe ich das richtig?

edit: Topologie findet unser Professor nicht wichtig und hat es weggelassen, genau wie Metrik..

edit2: Ach ja, ich muss ja offene Teilmengen finden. Alles klar.

10.11.2017, 17:35

IfindU

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Eine Menge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ heisst offen, relativ zu $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} A \cap U \end{eqnarray*}$ offen ist. Letzteres offen ist das was man kennt: Jeder Punkt besitzt eine offene Umgebung, die noch komplett in der Menge liegt.
Das relativ ist insofern wichtig, weil die Menge $\begin{eqnarray*} A = [1,2] \cup [3,4] \end{eqnarray*}$ nicht zusammenhängend ist (hat ein Loch), aber man findet keine ("absolut") offenen Mengen, welche $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zerlegen. Relativ zu $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sind hingegen die Intervall $\begin{eqnarray*} [1,2] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [3,4] \end{eqnarray*}$ jeweils offen.

Und genau, du kannst das Intervall $\begin{eqnarray*} [1,6] \end{eqnarray*}$ nicht so zerlegen. Es ist schliesslich zusammenhängend. Man kann das auch mit der Defintion zeigen. Alternativ mit Wegzusammenhängend:
Wir nehmen uns $\begin{eqnarray*} x,y \in [1,6] \end{eqnarray*}$ . Dann liegt der Weg $\begin{eqnarray*} \gamma(t) := t x + (1-t)y \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ komplett im Intervall und verbindet die Punkte.

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10.11.2017, 17:39

Jefferson1992

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Und wenn ich jetzt zeigen will, dass $\begin{eqnarray*} T\subset R^n \end{eqnarray*}$ die disjunkte Vereinigung aller Zusammenhangskomponenten von T ist, zeig ich das wie?

Ich mein, Zusammenhangskomponenten haben wir schlicht definiert als maximal zusammenhängende Teilmenge von T.

Und zusammenhängend bedeutet ja, das ich die Menge nicht mehr aufteilen kann. Dann vermute ich, das maximal zusammenhängen bedeutet, dass es eine Menge ist, die die maximale Größe erreicht hat, um noch zusammenhängend zu sein. Also sobald ich irgendwie noch ein Punkt dazu nehme, kann ich U,V finden.

Und weil ich ja diese Zusammenhangskomponente nicht mehr aufteilen kann, sind alle Zusammenhangskomponenten disjunkt. Ist ja logisch oder?

Aber wie zeige ich jetzt, dass alle Zusammenhangskomponenten in der Vereinigung die Menge T ergeben? Also ich mein, es klingt logisch, aber ...

10.11.2017, 17:43

10001000Nick1

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RE: Zusammenhängend
Kurze Anmerkung:

Zitat:

Original von IfindU
In metrischen Räumen ist Zusammenhängend das gleiche wie Wegzusammenhängend.

Das stimmt nur für offene Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .
Eine Menge, die zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend ist, ist z.B. $\begin{eqnarray*} \{(0,0)\}\cup \left\{\left. (x, \sin \frac 1x)\in\mathbb R^2\ \right| x>0\right\} \end{eqnarray*}$ .
Aus wegzusammenhängend folgt allerdings immer zusammenhängend.

10.11.2017, 17:47

IfindU

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Zitat:

Original von Jefferson1992
Dann vermute ich, das maximal zusammenhängen bedeutet, dass es eine Menge ist, die die maximale Größe erreicht hat, um noch zusammenhängend zu sein. Also sobald ich irgendwie noch ein Punkt dazu nehme, kann ich U,V finden.

Vorsichtig! $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ heisst maximale Zusammenhangskomponente, weil aus $\begin{eqnarray*} U \subsetneq V \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ nicht zusammenhangskomponente ist.
Der Unterschied ist insofern wichtig, da $\begin{eqnarray*} [1,3] \end{eqnarray*}$ eine nicht-maximale Zusammenhangskomponente von $\begin{eqnarray*} [1,6] \end{eqnarray*}$ . Aber für jeden weiteren Punkt $\begin{eqnarray*} x \in (3,6] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} [1,3] \cup \{x\} \end{eqnarray*}$ nicht mehr zusammenhängend. Man könnte aber mehr Punkte dazunehmen, und es würde wieder zusammenhängend.

Zitat:

Und weil ich ja diese Zusammenhangskomponente nicht mehr aufteilen kann, sind alle Zusammenhangskomponenten disjunkt. Ist ja logisch oder?

Es geht nicht ums aufteilen. Du musst zeigen, dass jedes $\begin{eqnarray*} x \in T \end{eqnarray*}$ in exakt einer maximalen Zusammenhangskomponente liegt.

Also: Eindeutigkeit: Was passiert, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in zwei verschiedenen Zusammenhangskomponenten liegt?
Existenz: Was passiert wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in keiner Zusammenhangskomponente liegt?

@Nick Danke. Topologie ist ein wenig her... Big Laugh

Big Laugh

Ist nur "offen" wichtig, oder ist es auch wichtig, dass wir uns im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ bewegen? verwirrt

verwirrt

10.11.2017, 17:54

10001000Nick1

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Zitat:

Original von IfindU
Ist nur "offen" wichtig, oder ist es auch wichtig, dass wir uns im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ bewegen? verwirrt

verwirrt

Wenn du meine Menge als metrischen Raum nimmst (mit der Euklidischen Metrik eingeschränkt auf diese Menge), dann ist die Menge der ganze Raum, also offen, und zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend.

Allgemeiner ist jede Mannigfaltigkeit genau dann zusammenhängend, wenn sie wegzusammenhängend ist. (Das liegt daran, dass Mannigfaltigkeiten lokal homöomorph zu einer offenen Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ sind, und damit lokal wegzusammenhängend.)

10.11.2017, 18:03

Jefferson1992

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Ich versuche es erstmal mit Text und wenn ich richtig liege, dann versuche ich es mathematisch.. okay?

Also Eindeutigkeit:

Nehmen wir mal an, x wäre in mehreren Zusammenhangskomponenten vertreten. Dann wäre der Schnitt ja schon mal nicht leer. Bedeutet beide Zusammenhangskomponenten wären nicht zusammenhängend. Das wäre ein Widerspruch..

Zur Existenz:

Wenn x in keiner Zusammenhangskomponente liegt, dann

ach ich hab kein Plan Big Laugh

Big Laugh

Ich glaub ich verstehe immer noch nicht, was das alles zu bedeuten hat.. Es ist glaub ich gar nicht schwer, aber ich seh es einfach nicht.

Kannst du mal irgendein Beispiel geben, was nicht mit meinem zu tun hat? Ich versteh immer noch nicht, wie man sich zusammenhängend und Zusammenhangskomponente "vorstellen" kann..

10.11.2017, 18:38

IfindU

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Zitat:

Original von 10001000Nick1

Zitat:

Original von IfindU
Ist nur "offen" wichtig, oder ist es auch wichtig, dass wir uns im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ bewegen? verwirrt

verwirrt

Wenn du meine Menge als metrischen Raum nimmst (mit der Euklidischen Metrik eingeschränkt auf diese Menge), dann ist die Menge der ganze Raum, also offen, und zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend.

Sehr elegante Antwort und/oder sehr dumme Frage von mir Big Laugh

Big Laugh

@Jefferson Dafuer bieten sich Bilder an, und die kann ich hier nicht auf die Schnelle zaubern. Aber es gibt ja im Internet genug: Link
Das Bild unten scheint mir ziemlich anschaulich. Ansonsten gibt es noch einen Wikipediaartikel.

Zum Beweis: Eindeutigkeit: Die Idee wird sein, dass die Vereinigung der Zusammenhangskomponenten wieder zusammenhängend ist und liefert den Widerspruch.

Existenz: Die Menge $\begin{eqnarray*} \{ x\} \end{eqnarray*}$ ist zusammenhängend.

11.11.2017, 17:01

Jefferson1992

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Ziehe jetzt noch eine Aufgabe vor und zwar geht es da ums Zeichnen. Das wäre vielleicht für das Verständnis ganz praktisch.

Habe folgende Menge:

$\begin{eqnarray*} A=(\left[0,1\right]\times\left\{0\right\})\cup(\left\{0\right\}\times\left[0,1\right])\bigcup^{\infty}_{n=1}(\left\{\frac{1}{n}\right\}\times\left[0,1\right]) \end{eqnarray*}$

Diese soll ich zeichnen und sagen, ob sie wegzusammenhängend ist.

Habe mir da erstmal die Mengen angeschaut, die vereinigt werden.

$\begin{eqnarray*} (\left[0,1\right]\times\left\{0\right\}) \end{eqnarray*}$

y wird nur bei 0 getroffen, das bedeutet prinzipiell, wenn ich es zeichnen würde, wäre es ein gerader Strich von 0 zu 1 auf der x-Achse.

$\begin{eqnarray*} (\left\{0\right\}\times\left[0,1\right]) \end{eqnarray*}$

Jetzt wird x nur bei 0 getroffen, das bedeutet, wenn ich es zeichnen würde, wäre es ein gerader Strich von 0 zu 1 auf der y-Achse.

$\begin{eqnarray*} \bigcup^{\infty}_{n=1}(\left\{\frac{1}{n}\right\}\times\left[0,1\right])<br /> \end{eqnarray*}$

Da wäre (1,0) und (1,1) möglich. Dann erst wieder (1/2,0), (1/2,1) (natürlich sind das nur die "äußersten" Punkte

Heißt ich hätte immer Striche von 0-1 auf der y-Achse, aber eben nur bei 1, 1/2, 1/3, 1/4, usw.

[attach]45643[/attach]

11.11.2017, 17:12

IfindU

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Stimmt. Aber es sollte kein waagerechter roter Strich existieren. Der wäre $\begin{eqnarray*} [0,1] \times \{1\} \end{eqnarray*}$ .

11.11.2017, 17:24

Jefferson1992

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stimmt hast recht, keine Ahnung wo der herkommt.

Okay und jetzt nochmal zurück zu Zusammenhangskomponente.

Wären das dann alles Zusammenhangskomponenten, jeder Strich eine?

Und jetzt muss ich ja für $\begin{eqnarray*} a,b \in A \end{eqnarray*}$ einen Weg finden, der diese Punkte verbindet und noch in A liegt richtig?

11.11.2017, 17:32

IfindU

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Wegen dem waagerechten Strich $\begin{eqnarray*} [0,1] \times \{0\} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zusammenhängend (sogar wegzusammenhängend.) Wenn du den weg lässt, wäre jeder senkrechte Strich eine Zusammenhangskomponente (sind dann ja nicht mehr verbunden).

11.11.2017, 17:37

Jefferson1992

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AHH!!!!!

Jetzt ist der Knoten geplatzt, glaub ich!

Das heißt, das was ich gezeichnet habe, ist genau eine Zusammenhangskomponente, weil ich durch den Waagerechten Strich alle Senkrechten Striche miteinander verbinde!

Okay! Großartig.

Wegzusammenhang sehe ich an der Zeichnung, aber wie zeige ich das Mathematisch? Muss ich mir jetzt eine Funktion überlegen oder lässt die sich durch irgendein Trick oder so herleiten?

11.11.2017, 17:49

IfindU

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Es ist nicht schwer eine entsprechende Kurve anzugeben, es ist nur etwas nervig, weil man ein paar Fälle unterscheiden muss, wo die Punkte liegen (auf einem senkrechten Strich oder auf dem Waagerechten), und die Kurve defininiert man auch dann über eine Fallunterscheidung.

Und wie man die Kurve definiert: Du "siehst" ja den Wegzusammenhang. Such dir zwei Punkte, und male mal einen Weg. Und dann mit 2 neuen Punkten. Wenn du das Spielchen einige Mal gemacht hast, siehst du, dass es immer nach dem gleichen Schema abläuft. Das schreibt man, wenn man will, noch als Funktion auf, und ist fertig.

Und die Definition von Zusammenhängend mit offenen Mengen ist etwas unintuiv, aber das Konzept dahinter ist wirklich das, was man sich unter zusammenhängend vorstellt. Wenigstens in den netten Fällen. Siehe Nicks Post über eine Menge, deren Zusammenhang nicht offensichtlich ist (mir wenigstens nicht.)

13.11.2017, 02:59

Jefferson1992

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Ich habe mich mal versucht, ich hoffe, dass es brauchbar ist..
t muss ja zwischen 0 und 1 liegen. Steht zumindest so in meinem Skript.

Also:
Habe insgesamt 4 Fälle betrachtet, 2 für waagerecht und 2 für senkrecht.

Waagerecht:

$\begin{eqnarray*} 0\leq x_1+x_2\leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} x_2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Fall Ich bewege mich nach rechts

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{pmatrix} x_1 \\ 0 \end{pmatrix}+(1-t) \begin{pmatrix} x_2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2. Fall Ich bewege mich nach links

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{pmatrix} x_1 \\ 0 \end{pmatrix}-(1-t) \begin{pmatrix} x_2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Senkrecht:

$\begin{eqnarray*} 0\leq x_1+x_2\leq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq y_1+y_2\leq 1 \end{eqnarray*}$

1. Fall Ich bewege mich nach oben

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}+(1-t) \begin{pmatrix} 0 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2. Fall Ich bewege mich nach unten

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}-(1-t) \begin{pmatrix} 0 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und mit den Funktionen kann ich alle Wege abdecken...

13.11.2017, 10:47

IfindU

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Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sollte von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abhängen, und nicht von $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ .

Das Problem ist, dass $\begin{eqnarray*} f(t) = \binom {x_1} 0 + (1-t) \binom {x_2} 0 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} t =1 \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} \binom {x_1} 0 \end{eqnarray*}$ annimmt, aber bei $\begin{eqnarray*} t = 0 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \binom { x_1 + x_2 } 0 \end{eqnarray*}$ . D.h. es startet bei $\begin{eqnarray*} \binom {x_1 + x_2} 0 \end{eqnarray*}$ und endet bei $\begin{eqnarray*} \binom {x_1} 0 \end{eqnarray*}$ .

Es muss also $\begin{eqnarray*} f(t) = t\binom {x_1} 0 + (1-t) \binom {x_2} 0 \end{eqnarray*}$ heissen. Dann ist $\begin{eqnarray*} f(0) = \binom{x_2} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(1) = \binom {x_1}0 \end{eqnarray*}$ . Oder wenn man anders rum parametrisiert (um von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ zu kommen, dann $\begin{eqnarray*} f(t) = (1-t)\binom {x_1} 0 + t \binom {x_2} 0 \end{eqnarray*}$ .

13.11.2017, 11:03

Jefferson1992

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ah okay danke.

Sind denn meine 4 Fälle in Ordnung, wenn ich sie jetzt noch von t abhängig mache?

13.11.2017, 11:06

IfindU

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Die Bedingungen an die Fälle ist seltsam. Warum forderst du beim ersten z.B. $\begin{eqnarray*} 0\leq x_1+x_2\leq 1 \end{eqnarray*}$ ? Damit kannst du nicht die Punkte $\begin{eqnarray*} \left ( \frac 1 2, 0 \right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left ( \frac 3 4, 0 \right) \end{eqnarray*}$ verbinden, weil $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 + \frac 3 4 > 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Die Bedingung für Waagerecht sollte $\begin{eqnarray*} 0 \leq x_1, x_2 \leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_1 = y_2 = 0 \end{eqnarray*}$ sein.

13.11.2017, 11:12

Jefferson1992

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Weil ich eine t-Einschränkung vergessen habe.

So wie ich es aufgeschrieben habe, wäre:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix} +(1-t)\begin{pmatrix} \frac{3}{4} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{4} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für t=1

Und das liegt nicht mehr in der Menge.

War also in der Tat ein Folgefehler, weil ich die Funktion von x und y abhängig gemacht habe.

Ich editiere gleich meine Lösung

z.Z. Die oben genannte Funktion (faul Big Laugh

Big Laugh

) ist wegzusammenhängend.
Beweis:

Unterscheide Waagerecht und Senkrecht:

Für waagerecht:
1. Fall
Sei $\begin{eqnarray*} 0\leq x_1,x_2\leq 1, y_1=y_2=0, t\in\left[0,1\right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} +t\cdot\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
2. Fall
Sei $\begin{eqnarray*} 0\leq x_1,x_2\leq 1, y_1=y_2=0, t\in\left[0,1\right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} -t\cdot\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für senkrecht:
1. Fall
Sei $\begin{eqnarray*} 0\leq y_1,y_2\leq 1, x_1=x_2=0, t\in\left[0,1\right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} +t\cdot\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
2. Fall
Sei $\begin{eqnarray*} 0\leq y_1,y_2\leq 1, x_1=x_2=0, t\in\left[0,1\right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} -t\cdot\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.11.2017, 11:31

IfindU

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Die zweiten Fälle irritieren mich. Allgemein verbindet $\begin{eqnarray*} g(t) = (1-t)v + tw \end{eqnarray*}$ die Vektoren $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ durch einen geraden Weg. Was $\begin{eqnarray*} (1-t) v - tw \end{eqnarray*}$ sein soll, weiss ich nicht.

Ausserdem solltest du noch begründen warum es ausreicht nur waagerechte und senkrechte Wege anzugeben. (Transivität von der Relation $\begin{eqnarray*} x \sim y \iff \text{ Es existiert ein Weg von $x$ zu $y$} \end{eqnarray*}$ ).

13.11.2017, 11:38

Jefferson1992

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Weil mich folgendes irritiert:

Sagen wir mal ich möchte von
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} nach \begin{pmatrix} 0.9\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann die Formel anwende:

$\begin{eqnarray*} (1-t)\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 0.9\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und wie es es verstanden habe, muss jetzt für jedes t\in\left[0,1\right] gewährleistet sein, dass sich der entstandene Punkt noch in der Menge befindet.

Sei t = 0.5.

$\begin{eqnarray*} 0.5\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}+0.5 \cdot \begin{pmatrix} 0.9\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (0,5+0,45)\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

okay.. irgendwie hatte ich einen Denkfehler. Dann brauch ich die 2. Fälle jeweils nicht.

edit kommt

Ich muss also zeigen, dass der Weg von a nach c äquivalent ist zu ich gehe erst von a zu b und dann von b zu c? richtig?

13.11.2017, 11:46

IfindU

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Das ist etwas unsauber formuliert:

Du musst zeigen:
Aus der Existenz eines Weges von a nach b und der Existenz eines Weges von b nach c, folgt die Existenz eines Weges von a nach c.

Die Rückrichtung folgt im allgemeinen nicht. Nur weil es einen Weg von a nach c gibt, heisst es nicht, dass man a mit einem komplett willkürlich gewählten Punkt b verbinden kann.

13.11.2017, 11:57

Jefferson1992

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich steh gerade etwas auf dem Schlauch sorry, das ist Ana 1 ich weiß..

Ich mein intuitiv ist das ja klar, aber ich weiß gar nicht, wie ich da anfangen soll.

Also: Sei f := Weg von a nach b und g:= Weg von b nach c

Dabei sind f und g Funktionen mit f,g : [0,1] --> A

Dann kann ich Funktionenkomposition anwenden:

$\begin{eqnarray*} g\circ f =g(f(x)) \end{eqnarray*}$ =Weg von a nach c

...

13.11.2017, 12:04

IfindU

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Das ist nicht wohldefiniert, weil $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ eine Zeit erwartet und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ einen Punkt im Raum liefert.

Man kann sich $\begin{eqnarray*} h: [0,1] \to A \end{eqnarray*}$ definieren mit $\begin{eqnarray*} h(t) = \begin{cases} f(...) & \text{ falls } 0\leq t \leq \frac 1 2 \\ g(...) & \text{ falls } \frac 1 2 \leq t \leq 1\end{cases} \end{eqnarray*}$ . Die Punkte müssen so gewählt werden, dass man den Weg durch $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ beschrieben doppelt so schnell verläuft. Dann ist man bei $\begin{eqnarray*} t= 0 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} f(0) = a \end{eqnarray*}$ , bei $\begin{eqnarray*} t=\frac 1 2 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} f(1) = g(0) = b \end{eqnarray*}$ und dann bei $\begin{eqnarray*} t = 1 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} g(1) = c \end{eqnarray*}$ .

13.11.2017, 12:07

Jefferson1992

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ahh! Sowas haben wir sogar im Skript, nur mit 3 Fällen. Jetzt habe ich das auch mal verstanden!
Ich danke dir!
Du bist mir wirklich eine große Hilfe. Ich mein, die Aufgabe war jetzt echt nicht schwer, aber ich bin einfach nicht darauf gekommen.

Danke!

13.11.2017, 12:13

IfindU

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Gerne

Wink

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