Konvergenzbeweis

11.11.2017, 00:54	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzbeweis Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist: Eine Folge (an) $\begin{eqnarray} _n \in_\mathbb N \end{eqnarray}$ konvergiert genau dann gegen a, wenn für alle $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ > 0 ein K $\begin{eqnarray} \in\mathbb N \end{eqnarray}$ existiert, so dass \|ak-a\| $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 1000 $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ für alle k $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ K gilt. Geben Sie entweder einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an: Weiß überhaupt nicht wie ich anfangen soll. Danke für jede Hilfe. LG
11.11.2017, 07:01	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Aufgabe Beweis Erst einmal zu LaTeX. Das ist hier nicht für einzelne Ausdrücke sondern ganze Terme gedacht. So würde man z.B. schreiben $\begin{eqnarray} \| a_k - a \| \leq 1000 \epsilon \end{eqnarray}$ . Und meinst du wirklich $\begin{eqnarray} k \leq K \end{eqnarray}$ ?
11.11.2017, 11:45	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Aufgabe Beweis Ok danke erstmal. ich meine natürlich $\begin{eqnarray} k\ge K \end{eqnarray}$
11.11.2017, 12:07	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Aufgabe Beweis Also. Du brauchst erst einmal eine Vermutung, ob die Aussage stimmt oder nicht. Wenn sie stimmen soll, überlege dir warum sie stimmen sollte, was ist die Definition von Konvergenz, wie hängen die zusammen? Wenn du denkst sie ist falsch, versuche ein Gegenbeispiel zu finde.
11.11.2017, 21:41	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Aufgabe Beweis Also meine Vermutung wäre jetzt, dass die Aussage stimmt. Also die Folge ist konvergent, da : $\begin{eqnarray} \forall n \in \mathbb N \exists N \in \mathbb N \forall n\geq N : \| a_n - a \| < \epsilon \end{eqnarray}$ . Ist die Definition für Konvergenz. Hier: $\begin{eqnarray} \forall k \in \mathbb N \exists K \in \mathbb N \forall k\geq K : \| a_k - a \| \leq 1000\epsilon \end{eqnarray}$ Sieht dieser ja sehr ähnlich. Das einzige was mich stört ist das $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ aber denke nicht das dadurch die Defintiion falsch wäre, weil : $\begin{eqnarray} \forall k \in \mathbb N \exists K \in \mathbb N \forall k\geq K : \| a_k - a \| < 1000\epsilon+1 \end{eqnarray}$ Da ich also denke, dass die Aussage stimmt, muss ich sie beweisen nur wie das geht weiß ich nicht so recht ist in den Vorlesungen auch zu knapp gekommen meiner Meinung nach. Ein bisschen Hilfe wäre nett, falls das obige nicht schon falsch ist
12.11.2017, 06:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Aufgabe Beweis Die Vermutung stimmt Korrekt wäre allerdings $\begin{eqnarray} \forall \epsilon_1 > 0 \exists N \in \mathbb N \forall n\geq N : \| a_n - a \| < \epsilon_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \forall \epsilon_2 > 0 \exists K \in \mathbb N \forall k\geq K : \| a_k - a \| \leq 1000\epsilon_2 \end{eqnarray}$ . Ich war auch so nett den Epsilons unterschiedliche Namen zu geben. Nun musst die du Äquivalenz der Definitionen zeigen. Wir fangen an zu zeigen, dass die erste Aussage die zweite impliziert. Sei also $\begin{eqnarray} \epsilon_2 > 0 \end{eqnarray}$ beliebig. Deine Aufgabe ist es ein $\begin{eqnarray} K \in \mathbb N \end{eqnarray}$ zu finden, so dass $\begin{eqnarray} \forall k\geq K : \| a_k - a \| \leq 1000\epsilon_2 \end{eqnarray}$ gilt. Dabei darfst du benutzen, dass $\begin{eqnarray} \forall \epsilon_1 > 0 \exists N \in \mathbb N \forall n\geq N : \| a_n - a \| < \epsilon_1 \end{eqnarray}$ . D.h. du musst $\begin{eqnarray} \epsilon_1 \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \epsilon_2 \end{eqnarray}$ wählen, so dass (soweit verrate ich) du $\begin{eqnarray} K := N \end{eqnarray}$ setzen darfst und die Ungleichung gilt. Und die andere Richtung: Sei $\begin{eqnarray} \epsilon_1 > 0 \end{eqnarray}$ , finde ein $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ..... Dabei darfst du natürlich dann $\begin{eqnarray} \forall \epsilon_2 > 0 \exists K \in \mathbb N \forall k\geq K : \| a_k - a \| \leq 1000\epsilon_2 \end{eqnarray}$ benutzen. Auch hier kann man $\begin{eqnarray} N = K \end{eqnarray}$ wählen. Aber das $\begin{eqnarray} \epsilon_2 \end{eqnarray}$ was es liefert, ist minimal schwieriger.
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13.11.2017, 16:05	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Aufgabe Beweis Ich verstehe leider überhaupt nicht, wie ich jetzt erschließe wie ich das $\begin{eqnarray} \epsilon_2 \end{eqnarray}$ wählen muss damit ich $\begin{eqnarray} K:=N \end{eqnarray}$ setzen darf.

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