Mächtigkeit der Vereinigung endlich vieler Mengen

11.11.2017, 13:27	Opher19782808	Auf diesen Beitrag antworten »
Mächtigkeit der Vereinigung endlich vieler Mengen Meine Frage: Sei X endliche Menge, m positive ganze Zahl $\begin{eqnarray} A_{1}, ..., A_{m}\subseteq X. \end{eqnarray}$ ZZ: $\begin{eqnarray} \|A_{1} \cup ...\cup A_{m}\| = \sum\limits_{leer\neq I\subset (1,..,m)}^{} (-1)^{Anzahl\,der \,Elemente\,von\,I+1}a_{I} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mengen, Schnitt und Situation ist natürlich klar, aber ich weiß nicht wie ich sinnvoll ansetze. Ich nehme erstmal drei Mengen an: OBdA(?-Ich will sagen, dass ich es für '1' durchmache, gilt dann aber ja analog für 2 und 3) ist $\begin{eqnarray} a_{i}\in A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \vee a_{i}\in A_{1} \cap A_{2}\vee a_{i}\in A_{1} ... \end{eqnarray}$ So?
11.11.2017, 13:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zweckmäßigerweise beweist man diese Siebformel per Vollständiger Induktion über $\begin{align} m \end{align}$ .
13.11.2017, 20:30	Opher19782808	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, Danke. IA: \|A1\|=a1. OK IS: $\begin{eqnarray} \|A_{1} \cup ...\cup A_{n+1}\| => IS \, Aussage \, stimmt \, fuer\, n\, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} hierzu\, kommen\, a_{n+1} ,\, davon \,abzuziehen\, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} sind\, a_{1n+1}-...a_{nn+1},\, zu\, addieren \,a_{12n+1}... a_{n-1nn+1}. \end{eqnarray}$ ISchl: Also ist die Aussage wahr fuer n+1 und damit auch die Behauptung. So kann ich es ja nicht sagen, oder?

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