Unabhängigkeit für Wahrscheinlichkeitsmaße

11.11.2017, 13:55

Marco443

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Unabhängigkeit für Wahrscheinlichkeitsmaße

Meine Frage:
Sei P ein Wahrscheinlichkeitsmaß und Omega={-0.5,0.5}^2 .

Unabhängigkeit von X={(z,y):z<0} und W={(z,y):y<0} ist zu zeigen.

Meine Ideen:
P(X)=P({-0.5,0.5),(-0.5,-0.5)})=P({(-0.5,0.5)})+P({(-0.5,-0.5)})
P(W)=P({(0.5,-0.5)}+P({-0.5,-0.5})

P(X"schnitt"W)=P({-0.5,-0.5)})

Wenn ich P(X)*P(W) rechne komme ich aber auf einen riesen Term und niemals auf P(X"schnitt"W), was mache ich falsch?

11.11.2017, 14:06

HAL 9000

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Du hast die Grundmenge $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ des Wahrscheinlichkeitsraums genannt, aber zum Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{align*} P \end{align*}$ fehlt jede Information (außer der banalen, dass es auf $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ , besser gesagt $\begin{align*} \wp(\Omega) \end{align*}$ wirkt).

Die Unabhängigkeit der Ereignisse $\begin{align*} X \end{align*}$ und $\begin{align*} W \end{align*}$ kann man gar nicht zeigen, schlicht weil sie i.a. hier gar nicht zutrifft!!! Es sei denn, du hast Informationen über $\begin{align*} P \end{align*}$ hier verschwiegen. unglücklich

unglücklich

11.11.2017, 14:12

Marco443

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P= $\begin{eqnarray*} \lambda _{2} \end{eqnarray*}$ Eingeschränkt auf Omega. Das sagt mir aber nichts, über Lambda ist nichts bekannt-

11.11.2017, 14:17

IfindU

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Ich würde wetten $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ ist das zweidimensionale Lebesgue-Maß. Wenigstens ist es auf $\begin{eqnarray*} [-\frac 1 2, \frac 1 2]^2 \end{eqnarray*}$ ein W-Maß. Was allerdings nicht dein $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist. Tippfehler?

11.11.2017, 14:19

Marco443

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Das könnte passen. Doch Omega ist genau die Menge (Produktmenge) die du dort geschrieben hast.

11.11.2017, 14:21

IfindU

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Es ist $\begin{eqnarray*} \{ a, b\}^2 = \{ (a,a), (a,b), (b,a), (b,b) \} \end{eqnarray*}$ . D.h. du hast im Produkt nur 4 Elemente bei dir. Es macht einen grossen Unterschied ob man von $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \{ a,b\} \end{eqnarray*}$ redet!

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11.11.2017, 14:29

Marco443

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Oh stimmt, es ist (a,b)^2 . Ist meine Rechnung daher falsch?

11.11.2017, 14:51

IfindU

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RE: Unabhängigkeit für Wahrscheinlichkeitsmaße
Es sieht so aus als ob du mit der Mengen-Version gerechnet hast. Wenn man die Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray*} \{ a,b\}^2 \end{eqnarray*}$ nimmt, sollte es auch stimmen. Aber irgendwann musst du das Maß benutzen, um die Wahrscheinlichkeit wirklich auszurechnen.

11.11.2017, 14:53

Marco443

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Ok aber die Mengenversion ist ja wohl falsch. Ich muss (a,b)^2 nutzen, weiss aber nicht wirklich was das ändern sollte? Und wie rechne ich die Wahrscheinlichkeit dann wirklich aus, wenn ich nicht wirklich weiss wie P abbildet? Das Maß habe ich in meiner Mengenversion ja benutzt.

11.11.2017, 14:59

IfindU

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Es ist einfach das Lebesgue-Maß. Das Maß der Flächen ist einfach deren Flächeninhalt. Das ganze Quadrat hat Wahrscheinlichkeit 1, die Hälfte davon 1/2 usw.

11.11.2017, 15:17

HAL 9000

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Fassen wir nochmal zusammen:

Es geht nicht um $\begin{align*} \Omega = \{-0.5,0.5\}^2 \end{align*}$ , sondern um $\begin{align*} \Omega = (-0.5,0.5)^2 \end{align*}$ , und $\begin{align*} P \end{align*}$ entspricht dem zweidimensionalen Lebesgue-Maß eingeschränkt auf $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ - was die Situation natürlich radikal ändert. unglücklich

unglücklich

$\begin{align*} X \end{align*}$ und $\begin{align*} W \end{align*}$ kann man gemäß der Beschreibungen dann als $\begin{align*} X = (-0.5,0)\times (-0.5,0.5) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} W = (-0.5,0.5)\times (-0.5,0) \end{align*}$ beschreiben, entsprechend dann mit $\begin{align*} X\cap W = (-0.5,0)\times (-0.5,0) \end{align*}$ .

11.11.2017, 15:39

Marco443

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Zitat:

X und W kann man gemäß der Beschreibungen dann als X=(−0.5,0)×(−0.5,0.5) sowie W=(−0.5,0.5)×(−0.5,0) beschreiben,

Das musst du mir nochmal erklären, ich hätte jetzt X und W genau wie von mir am Anfang beschriegeben gelassen. X ist die Menge der Paare aus Omega, wo der erste Eintrag kleiner als 0 ist also (-0.5,0.5) und aber auch (-0.5,-0.5).

11.11.2017, 15:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Marco443
X ist die Menge der Paare aus Omega, wo der erste Eintrag kleiner als 0 ist also (-0.5,0.5)

Der erste Eintrag aus (!) (-0.5,0) wäre passender! Und der zweite Eintrag ist frei wählbar, stammt also aus dem von Grundmenge übertragenen Intervall (-0.5,0.5). Ergibt kombiniert (d.h. als kartesisches Produkt geschrieben) eben jenes $\begin{align*} X = (-0.5,0)\times (-0.5,0.5) \end{align*}$ .

11.11.2017, 16:24

Marco443

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Also erhalte ich P((-0.5 , 0) x (-0.5,0.5)) = P((-0.5,0))*P((-0.5,0.5))=0 (erhalte ich das direkt aus der Definition von dem Lebegue Maß? Wir hatten einen Satz dort wird l(I_k1 x ... I_kn)=l(I_k1)*..*l(I_kn) benutzt?)

dann erhalte ich ja wenn ich das Analog für B und A schnitt B mache 0*0=0

11.11.2017, 16:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von Marco443
Also erhalte ich P((-0.5 , 0) x (-0.5,0.5)) = P((-0.5,0))*P((-0.5,0.5))=0

Unsinn. Es ist $\begin{align*} P((-0.5 , 0) \times (-0.5,0.5)) = (0-(-0.5))\cdot (0.5-(-0.5)) = 0.5\cdot 1 = 0.5 \end{align*}$ . Irgendwie scheinst du gar nicht zu wissen, was das zweidimensionale Lebesgue-Maß bzw. solche kartesischen Produkte sind - jedenfalls spricht aus jeder deiner Erwiderungen totales Unverständnis. unglücklich

unglücklich

Z.B.: Was soll dein $\begin{align*} P((-0.5,0)) \end{align*}$ bedeuten? $\begin{align*} P \end{align*}$ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, was auf Teilmengen des $\begin{align*} \mathbb{R}^2 \end{align*}$ wirkt. Die Anwendung auf Teilmengen des $\begin{align*} \mathbb{R}^1 \end{align*}$ , wie das Intervall $\begin{align*} (-0.5,0) \end{align*}$ eine ist, ist gar nicht zulässig!

11.11.2017, 17:05

marco443

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Zitat:

Irgendwie scheinst du gar nicht zu wissen, was das zweidimensionale Lebesgue-Maß bzw. solche kartesischen Produkte sind - jedenfalls spricht aus jeder deiner Erwiderungen totales Unverständnis.

Dann erkläre es mir doch bitte. Nur die Lösung bringt mich nicht weiter.
P sollte das lebegue maß sein und wir hatten einen satz über l(I_1 x.. xI_n)=l(I_1)x..xl(I_n) wie ich oben gesagt habe. Wieso dann nicht hier? Wie nutze ich dann das Maß P wenn ich dort ein kartesisches Produkt habe?

11.11.2017, 17:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von marco443
Dann erkläre es mir doch bitte.

Sagen wir es mal so: Du hast hier ein $\begin{align*} \lambda_2 \end{align*}$ in der Aufgabenstellung, also solltest du auch wissen, was mit $\begin{align*} \lambda_2 \end{align*}$ gemeint ist!

11.11.2017, 17:20

marco443

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Wieso ist P((-0.5,0)) nicht definiert? Jetzt ist es kein Paar mehr?
unglücklich

unglücklich

Ein paar Hilfestellungen/Erklärungen wären schon nett.

11.11.2017, 17:28

marco443

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Lambda_n soll gerade die Erweiterung von l_n=l x l ... x l (n-mal) eingeschränkt auf Omega sein und dafür gilt, dass l ( I_1 x ... x I_n)=l(I_1) x ... x l(I_n) ist, dass wissen wir, was ist dann bei mir falsch? Schade, dass hier nicht auf Fragen des Problemstellenden eingegangen wird.

11.11.2017, 17:30

HAL 9000

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Für die vorliegende Aufgabe dürfte es genügen, wenn man $\begin{align*} \lambda_2 \end{align*}$ mit dem Begriff "Flächenmaß" beschreibt. Dementsprechend ist

$\begin{align*} P((-0.5 , 0) \times (-0.5,0.5)) = \lambda_2((-0.5 , 0) \times (-0.5,0.5)) \end{align*}$

die Fläche des folgenden Rechtecks:

[attach]45644[/attach]

Zitat:

Original von marco443
Ein paar Hilfestellungen/Erklärungen wären schon nett.

Werd mal nicht so frech! Ich könnte auch sagen: "Warum hast du die halbe Vorlesung verpennt und kennst nicht mal so grundlegende Dinge wie das Lebesguemaß?"

11.11.2017, 17:39

marco443

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Erkläre mir doch bitte, wie du P((−0.5,0)×(−0.5,0.5))=(0&#8722 traurig

traurig

−0.5))&#8901 traurig

traurig

0.5&#8722

traurig

−0.5))=0.5⋅1=0.5 auflöst, hier steckt ja prinzipiell "nur" das kartesische Produkt dahinter.
Was mache ich also aus P((-0.5,0.5),(-0.5,0.5)...) so wird ja das kartesische Produkt aufgelöst, wie wende ich denn dann wie IfindU sagte dann mal das Maß an?

Die Frage warum l ( I_1 x ... x I_n)=l(I_1) x ... x l(I_n) nicht gilt, stellt sich mir immer noch wobei lambda_n doch gerade die Erweiterung von diesem l_n sein soll.

Die Vermutung liegt Nahe, dass wir uns gerade mit diesem Thema beschäftigen wenn ich so eine Übungsaufgabe erhalte, um diese Definition zu durchdringen - naja.

11.11.2017, 17:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von marco443
Die Frage warum l ( I_1 x ... x I_n)=l(I_1) x ... x l(I_n) nicht gilt, stellt sich mir immer noch

Wenn du hier mit $\begin{align*} |\ldots| \end{align*}$ das Lebesguemaß im jeweils passenden Raum (!) meinst, stimmt diese Gleichung - keiner hat hier gesagt, dass das nicht stimmt, das unterstellst du hier bloß. In den richtigen Dimensionen mit dem n-dimensionalen Lebesguemaß geschrieben bedeutet dies nämlich

$\begin{align*} \lambda_n\left( I_1\times I_2\times \ldots \times I_n\right) = \lambda_1(I_1)\cdot \lambda_1(I_2)\cdot \ldots \cdot \lambda_1(I_n) \end{align*}$ ,

d.h. rechts steht jeweils nur das eindimensionale Lebesgue-Maß. Richtig wäre im vorliegenden Fall also

$\begin{align*} P((-0.5 , 0) \times (-0.5,0.5)) = \lambda_2((-0.5 , 0) \times (-0.5,0.5)) = \lambda_1((-0.5 , 0))\cdot \lambda_1((-0.5,0.5)) \end{align*}$ .

Wenn du jetzt aber rechts einfach das auf $\begin{align*} \mathbb{R}^1 \end{align*}$ gültige Maß $\begin{align*} \lambda_1 \end{align*}$ durch das auf $\begin{align*} \mathbb{R}^2 \end{align*}$ gültige Maß $\begin{align*} P \end{align*}$ ersetzt, dann ist und bleibt das Unfug.

So, und jetzt mach ich erst mal Pause - andere Helfer sind gern eingeladen.

11.11.2017, 17:57

marco443

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Aha!
Das hat mich schonmal weitergebracht!

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