Beschränktheit und Monotonie

11.11.2017, 14:40

manuel459

Beschränktheit und Monotonie

Hey Leute,

habe hier ein Problem:

ich möchte die Folge $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}: n \to \frac{3^n-5n^3+1}{2*3^n+n^5+n^2} \end{eqnarray*}$ auf Montonie und Beschränktheit untersuchen.

Für die Montonie habe ich einige Funktionswerte berechnet und vermute daher, dass sie ab 2 streng monoton wächst.

nun will ich also zeigen dass f(n+1)/f(n)>1 für alle n in N:n>=2 ist.

ich bilde dabei also diesen genannten Quotienten und will irgendwann dastehen haben ...>1. Gibt es denn hier irgendeinen "Trick"? Ich habe bereits den Quotienten gebildet und "ausmultipliziert", es ergeben sich aber riesige Terme mit denen ich nichts anfangen kann.

Vielen Dank für die Tipps,
LG

11.11.2017, 14:49

G111117

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RE: Beschränktheit und Monotonie
Kürze mit 3^n. um den Grenzwert zu erhalten.

Der Nenner wächst doch schneller als der Zähler. Die Folge fällt also.

11.11.2017, 15:00

manuel459

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RE: Beschränktheit und Monotonie
wir hatten Grenzwerte leider noch nicht wirklich...

ja das sehe ich auch, aber ich muss das doch "formal" beweisen oder nicht?

11.11.2017, 15:05

manuel459

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RE: Beschränktheit und Monotonie
und sie wächst doch ab 2? zumindest laut der Darstellung des Graphen

11.11.2017, 15:17

G111117

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RE: Beschränktheit und Monotonie
Der Grenzwert ist 1/2. Sorry, der Rest war Unsinn.

11.11.2017, 15:24

manuel459

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RE: Beschränktheit und Monotonie
hilft mir denn das weiter?

Soweit habe ich gelernt, dass man Monotonie damit nachweist, indem man von zwei aufeinander folgenden Folgegliedern zeigt, dass der Quotient dieser größer 1 ist. Dies dann für alle Natürlichen Zahlen (hier größer 2).

Ich kann damit zwar sagen, dass die Folge beschränkt ist, dazu muss ich aber nicht den Grenzwert bestimmen, sondern nur von irgendeiner oberen Schranke nachweisen, dass sie eine ist.

LG

11.11.2017, 16:14

mYthos

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Ja, das ist alles richtig.
Bei der Monotonie wird dir jedoch nichts anderes übrig bleiben, als die üblen Terme für n und (n+1) miteinander zu vergleichen.
Ich mag solche Rechenmonster ja auch nicht. Oder man findet eine trickreiche Abschätzung .. (bisher weiß ich keine Augenzwinkern

)

mY+

11.11.2017, 16:16

manuel459

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oje, zwar nicht die Antwort die ich erhofft hatte, aber dennoch Big Laugh

Vielen Dank! smile

11.11.2017, 17:49

mYthos

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Eine alternative Möglichkeit habe ich noch gefunden:

Satz:
Ist f eine stetige und injektive Funktion auf D (Definitionsmenge), so ist sie streng monoton. Mittels zweier Punkte (x1; f(x1)) und (x2; f(x2)) kann dann mit einer Punktprobe ermittelt werden, ob sie steigend oder fallend ist.
Injektion?

Stetig ist unser Term bis auf die Nullstellen des Nenners (eine bei -1,132, keine f. n > 0)

So?

mY+

11.11.2017, 18:26

manuel459

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Wow! Vielen Dank für die ganze Mühe!

Macht absolut Sinn! Leider haben wir Stetigkeit noch nicht gemacht
traurig

11.11.2017, 18:54

HAL 9000

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Hat man ein CAS zur Verfügung, so kann man brachial vorgehen:

Definieren wir $\begin{align*} g(n):=3^n-5n^3+1 \end{align*}$ und $\begin{align*} h(n):=2\cdot 3^n+n^5+n^2 \end{align*}$ , so erhält man mit CAS-Unterstützung (oder zu Fuß, falls man viel Geduld hat):

$\begin{align*} f(m+5)-f(m+4) &= \frac{g(m+5)}{h(m+5)}-\frac{g(m+4)}{h(m+4)} = \frac{g(m+5)h(m+4)-g(m+4)h(m+5)}{h(m+5)h(m+4)}\\ &= \frac{1}{h(m+5)h(m+4)} \left[ 3^m\left(162m^5 + 2835m^4 + 20250m^3 + 71442m^2 + 114939m + 51516\right) + 10m^7 + 315m^6 + 4245m^5 + 31715m^4 + 141825m^3 + 379485m^2 + 562353m + 355890 \right] > 0 \end{align*}$

für alle $\begin{align*} m\geq 0 \end{align*}$ . Damit haben wir Monotonie zumindest für $\begin{align*} n\geq 4 \end{align*}$ . Die paar Werte $\begin{align*} f(n) \end{align*}$ für $\begin{align*} n=1,2,3,4 \end{align*}$ rechnet man noch zu Fuß aus, um die genaue Stelle zu finden, ab der die Monotonie gilt - laut Aussage von manuel459 ja für $\begin{align*} n\geq 2 \end{align*}$ .

Wenn man jetzt fragt "warum $\begin{align*} f(m+5)-f(m+4) \end{align*}$ statt $\begin{align*} f(m+1)-f(m) \end{align*}$ ": Bei letzterem hat man noch nicht durchgehend positive Koeffizienten in der Klammer [...] , was die Positivität dieser Klammer ungleich schwerer begründbar macht (selbst wenn sie zutrifft). Augenzwinkern

11.11.2017, 19:48

manuel459

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Hey HAL, Danke für diesen Vorschlag, den kann ich sogar noch Anwenden (mit meinem beschränkten Wissen Big Laugh

).

Nurmal so eine Frage: h(m+5)*h(m+4) müsste dabei aber auch rein positive Terme haben bzw. es muss da "relativ" leicht ersichtlich sein, dass der Ausdruck positiv ist? Ist er positiv? Sonst würde das ja so nicht klappen.

LG

11.11.2017, 19:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von manuel459
h(m+5)*h(m+4) müsste dabei aber auch rein positive Terme haben bzw. es muss da "relativ" leicht ersichtlich sein, dass der Ausdruck positiv ist?

Sehr gut erkannt, das muss tatsächlich gefordert werden! Aber schau dir doch mal h(n) genau an: Da werden drei positive Terme addiert - da sollten sich deine Bedenken doch leicht zerstreuen. Augenzwinkern

11.11.2017, 20:01

manuel459

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Logisch!
Danke nochmal smile

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Beschränktheit und Monotonie

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