Sigma Algebra

11.11.2017, 16:14

Helpi

Sigma Algebra

Meine Frage:
Welches ist die kleinste $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra, die die Intervalle [1,2] und ]3/2, 5/2[ enthält?

Meine Ideen:
Ich verstehe nicht ganz wie ich hier vorgehen soll.

Klar ist mir nur dass die leere Menge enthalten ist (immerhin).

Also $\begin{eqnarray*} \sigma = \left\{ \varnothing, ... \right\} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich mit den Intervallen um? Muss ich die Vereinigung bilden?

11.11.2017, 16:30

HAL 9000

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Ich setze mal voraus, dass du hier $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ -Algebra über $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ meinst? Die Angabe der Grundmenge $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ ist unerlässlich für die Betrachtungen.

Auch hier gilt diese Anmerkung. Zur Indentifizierung der atomaren Mengen betrachte man die gegebenen Mengen, deren Komplemente sowie Durchschnitte davon. Tut man dies hier, so bekommt man dann folgende 4 atomare Grundmengen heraus:

$\begin{align*} \left[ 1, \frac{3}{2} \right] , \left] \frac{3}{2},2 \right], \left] 2,\frac{5}{2}\right[ \end{align*}$ und als "Rest" $\begin{align*} (-\infty, 1[ \,\cup \left[\frac{5}{2},\infty\right) \end{align*}$ .

Die daraus gebildete Sigma-Algebra enthält dann $\begin{align*} 2^4=16 \end{align*}$ Mengen.

11.11.2017, 17:29

Helpi

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Oh entschuldige, ja über R.

Ok, wenn ich es richtig verstehe, dann gehe ich bei Intervalle so vor, dass ich mir eine Vorstellung des "Zahlenstrahls mache" und die "Relation" de rIntervalle... da es über R geht betrachte ich noch + und - unendlich (also den Rest)...

Kann ich das linksseitig unendliches abgeschlossenes Intervall auch so schreiben: $\begin{eqnarray*} ]-\infty , 1] \end{eqnarray*}$ und das rechtsseitig unendliches abgeschlossenes Intervall so: $\begin{eqnarray*} ]\frac{5}{2} , \infty ] \end{eqnarray*}$ ?

Kann ich davon ausgehen, dass "atomare Mernge" gleichbedeutend sind mit "Elementar Ereignisse"? Oder verwechsele ich hier etwas?

was ist mit kleinste Sigma Algebra gemeint? Ich dachte es gibt "die Sigma Algebra". also in diesen Beispiel 16 Mengen... Warum ist hier die Rede von kleinste Sigma Algebra?

11.11.2017, 17:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Helpi
und das rechtsseitig unendliches abgeschlossenes Intervall so: $\begin{eqnarray*} ]\frac{5}{2} , \infty ] \end{eqnarray*}$ ?

Dieses Intervall würde $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ beinhalten. Aber $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehört nicht zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , also ist dies hier irgendwie deplatziert. unglücklich

11.11.2017, 17:48

Helpi

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Ein Klammer Fehler. Ich meinte "[" hab mich vertippt. Gemeint ist:

Kann ich es so schreiben:

$\begin{eqnarray*} ]-\infty , 1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [\frac{5}{2} , \infty [ \end{eqnarray*}$

Kann ich davon ausgehen, dass "atomare Mernge" gleichbedeutend sind mit "Elementar Ereignisse"? Oder verwechsele ich hier etwas?

was ist mit kleinste Sigma Algebra gemeint? Ich dachte es gibt "die Sigma Algebra". also in diesen Beispiel 16 Mengen... Warum ist hier die Rede von kleinste Sigma Algebra? verwirrt

11.11.2017, 17:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Helpi
Kann ich davon ausgehen, dass "atomare Mernge" gleichbedeutend sind mit "Elementar Ereignisse"?

Nein: Elementarereignis kennzeichnet eigentlich die Elemente des Wahrscheinlichkeitsraumes, also $\begin{align*} \omega\in\Omega \end{align*}$ , im vorliegenden Fall sind das einfach reelle Zahlen. Der Begriff ist tatsächlich irreführend, denn bei "grob" strukturierten $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ -Algebren - wie etwa der hier vorliegenden! - ist es nicht mal der Fall, dass die $\begin{align*} \{\omega\} \end{align*}$ tatsächlich Ereignisse sind, also zur $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ -Algebra gehören. Aber was will man machen, der Begriff Elementarereignis ist nun mal so eingeführt, wie er ist. Aus diesem Grunde habe ich dann doch den anderen Begriff gewählt.

11.11.2017, 18:31

Helpi

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hm... hab erneut in der definiton nachgeschaut... Demnach ist die kleinst Mögliche Sigma Algebra für eine beliebige Menge Omega die leere Menge und Omega selbst.

Die Potenzmenge die größte... Also mit leere Menge, Omega, der Menge und Komplement...

Ist dann meine Kleinst Mögliche Sigma Algebra:

$\begin{eqnarray*} \sigma = \left\{ \left\{ \varnothing\right\} ,\left\{ \left[ 1, \frac{3}{2} \right] \right\} ,\left\{ \left] \frac{3}{2},2 \right]\right\} , \left\{ \left] 2,\frac{5}{2}\right[\right\} ,\left\{ (-\infty, 1[ \,\cup \left[\frac{5}{2},\infty\right)\right\}\right\} \end{eqnarray*}$

11.11.2017, 18:37

Helpi

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Zitat:

Die daraus gebildete Sigma-Algebra enthält dann

Wie bilde ich diese? Wie gehe ich vor bei Intervalle? verwirrt

11.11.2017, 19:03

HAL 9000

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Nochmal:

Zitat:

Original von HAL 9000
Die daraus gebildete Sigma-Algebra enthält dann $\begin{align*} 2^4=16 \end{align*}$ Mengen.

Das sind die von mir genannten vier Mengen, die leere Menge, sowie alle (!) Vereinigungen von zwei, drei oder vier dieser genannten vier Mengen (alle vier vereinigt ist dann natürlich $\begin{align*} \Omega=\mathbb{R} \end{align*}$ selbst).

11.11.2017, 20:01

Helpi

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Ist die kleinste Sigma Algebra also:

$\begin{eqnarray*} A= \left\{ \left\{ \varnothing\right\} ,\left\{ \left[ 1, \frac{3}{2} \right] \right\} ,\left\{ \left] \frac{3}{2},2 \right]\right\} , \left\{ \left] 2,\frac{5}{2}\right[\right\} ,\left\{ (-\infty, 1[ \,\cup \left[\frac{5}{2},\infty\right)\right\}\right\} \end{eqnarray*}$

11.11.2017, 20:07

HAL 9000

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Anscheinend schreibe ich für den Mülleimer ... dieses dein A ist keine Sigma-Algebra - schon gleich gar nicht eine über $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ . unglücklich

Ich nenne jetzt einfach mal die kleinste Sigma-Algebra:

$\begin{align*} \left\{ \emptyset, \left[ 1,\frac{3}{2} \right], \left] \frac{3}{2},2 \right], \left[ 1,2 \right], \left] 2,\frac{5}{2}\right[, \left[ 1,\frac{3}{2} \right] \cup \left] 2,\frac{5}{2}\right[, \left] \frac{3}{2},\frac{5}{2}\right[, \left[ 1,\frac{5}{2}\right[, \left(-\infty,1\right[ \,\cup \left[\frac{5}{2},\infty\right), \left(-\infty,\frac{3}{2} \right] \,\cup \left[\frac{5}{2},\infty\right), \left(-\infty, 1\right[ \,\cup \left] \frac{3}{2},2 \right] \cup \left[\frac{5}{2},\infty\right), \left(-\infty,2 \right] \cup \left[\frac{5}{2},\infty\right), \left(-\infty, 1\right[ \,\cup \left] 2,\infty\right), \left(-\infty,\frac{3}{2} \right] \cup \left] 2,\infty\right), \left(-\infty, 1\right[ \,\cup \left] \frac{3}{2},\infty\right), \mathbb{R} \right\} \end{align*}$

11.11.2017, 20:37

Helpi

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Sorry Hal 9000 wenn du das Gefühl hast du schreibst für den Mülleimer.

Laut Definition :

die kleinst mögliche Ã-Algebra. Sie wird auch die triviale Ã-Algebra genannt.

Die Potenzmenge
A 2 := P ( © )

ist die größte mögliche Ã-Algebra mit
© als Grundmenge.

Für jede beliebige Menge
© und eine Teilmenge
A ⊆ © ist
A 3 = { ∅ , A , A c , © }

eine Ã-Algebra. Sie ist die kleinste Ã-Algebra, die
A
enthält.

Wir haben hier eine Teilmenge, deswegen sagst du die kleinst mögliche muss wie folgt aufgebaut sein:
A 3 = { ∅ , A , $\begin{eqnarray*} A^{c} \end{eqnarray*}$ , © }

Sorry ich hab mich auf was falsches fixiert. nämlich auf die erst genannte Bedingung

Die größtmögliche Menge hätte in diesen Fall unendlich viele Möglichkeiten? Weil es über ganz R geht? Oder ist das total danaben? Das ganze ist neu und mit Intervalle habe ich zusätzlich Probleme.

Danke für die Hilfe und Geduld.

11.11.2017, 20:46

sibelius84

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Versuch und Irrtum gehört zur Mathematik immer dazu. Irrtümer werden bei mir bestenfalls fein säuberlich archiviert, wenn sie didaktisch wertvoll sind. In den Müll kommen sie auf keinen Fall, ist ja immerhin noch Mathematik, von meinen dutzenden Rotzfahnen und schier hunderttausenden Kaffeefiltern möchte ich diese fernhalten. Wenn, dann landen sie im Altpapier, schon für die Umwelt und für's Recycling, oder für neugierige Nachbarn, die im Idealfall auf diesem Wege ihre Vorliebe für die Mathematik entdecken (weil sie angesichts meiner Irrtümer denken: das kann ja selbst ich besser).
@Helpi: Dass eine Sigma-Algebra entweder unendlich viele Mengen enthält oder 2^k (also eine Zweierpotenz: 2, 4, 8, 16, ...), solltest du dir aber wirklich mal hinter die Ohren schreiben. Es kann geübte Mathematiker schier zur Weißglut treiben, wenn man so einfache Kontrollmechanismen für Ergebniskandidaten nicht anwendet, obwohl man diese damit in Sekundenschnelle falsifizieren könnte Augenzwinkern

Das mit der kleinsten Sigma-Algebra ist immer die Sache:

Du hast eine Grundmenge bzw. einen sog. "Erzeuger" und musst nun die Sigma-Algebren-Axiome (aus der Definition) auf ihnen "spielen" lassen, wie auf einer Klarinette.

Der Erzeuger soll hier also sein: [1,2] und ]3/2, 5/2[.

Du hattest gefragt, ob du die Mengen vereinigen musst. Die Antwort ist JA, nach (sigma3), dem dritten Sigma-Algebren-Axiom. Also: Die Menge
$\begin{eqnarray*} [1,2]\cup]3/2, 5/2[ \end{eqnarray*}$
wird mit von der Partie sein müssen.

Sodann hast du auch damit Recht, dass dies auch für die leere Menge und für die Gesamtmenge Omega = |R gilt.

Nun betrachte das zweite Sigma-Algebrenaxiom (sigma2). Daraus folgt, dass
$\begin{eqnarray*} [1,2]^C = ]-\infty,1[\stackrel{.}\cup]2,+\infty[ \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} ]3/2,5/2[^C = ]-\infty,3/2]\stackrel{.}\cup[5/2,+\infty[ \end{eqnarray*}$
auch mit dabei sind.

Nun musst du auf diesem Wege immer weiter versuchen, deiner Klarinette möglichst immer neue Töne zu entlocken. Sprich: Immer neue Kombinationen von Mengen zu finden, zusammenzuschütten, zu schneiden, das Komplement zu bilden. Denn du willst ja ein abgerundetes Ergebnis haben, bei dem nichts fehlt.

Irgendwann wirst du dann feststellen, dass irgendwie immer nur die selben Mengen herauskommen wie vorher. Da kommt nichts Neues mehr zu. Dann zähle deine Elemente durch. Wenn es 15 oder 30 sind, weißt du, dass noch mindestens 1 bzw. mindestens 2 fehlen, und solltest weitersuchen. Wenn du 16 oder 32 hast, könnte es sein, dass das Konzert zu Ende ist. Dann überzeuge dich noch einmal mit Hilfe der Definition davon, dass es eine Sigma-Algebra ist.

Versuch's mal und frag' bei Schwierigkeiten gerne noch mal nach - aber behaupte nicht, dass eine Menge, deren Mächtigkeit endlich und keine Zweierpotenz ist, eine Sigma-Algebra sei. Ansonsten besteht die reelle (wenn nicht sogar komplexe) Gefahr, dass das Mathematikerherz heißer kocht als klingonischer Kaffee, und anfängt zu bluten, und die Anzahl der Rotzfahnen im Mülleimer exponentiell gegen Unendlich strebt.

11.11.2017, 20:48

Helpi

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Sorry Hal 9000 wenn du das Gefühl hast du schreibst für den Mülleimer.

Laut Definition :

Für jede Menge Omega ist
$\begin{eqnarray*} A_{1} := \left\{{ \varnothing, \Omega}\right\} \end{eqnarray*}$

die kleinst mögliche sigma-Algebra. Sie wird auch die triviale sigma-Algebra genannt.

Die Potenzmenge
$\begin{eqnarray*} A_{2} := P(\Omega) \end{eqnarray*}$

ist die größte mögliche sigma-Algebra mit
omega als Grundmenge.

Für jede beliebige Menge
omega und eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} A\subseteq \Omega \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} A_{3} = \left\{ {\varnothing, A, A^{c} , \Omega}\right\} \end{eqnarray*}$

eine Sigma-Algebra. Sie ist die kleinste Sima-Algebra, die
A
enthält.

Wir haben hier eine Teilmenge, deswegen sagst du die kleinst mögliche muss wie folgt aufgebaut sein:
$\begin{eqnarray*} A_{3} = \left\{ {\varnothing, A, A^{c} , \Omega}\right\} \end{eqnarray*}$

Sorry ich hab mich auf was falsches fixiert. nämlich auf die erst genannte Bedingung

Die größtmögliche Menge hätte in diesen Fall unendlich viele Möglichkeiten? Weil es über ganz R geht? Oder ist das total daneben? Das ganze ist neu und mit Intervalle habe ich zusätzlich Probleme.

Danke für die Hilfe und Geduld

11.11.2017, 21:19

sibelius84

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Hallo Helpi,

über deinem letzten Post ist eine Antwort von mir - die ich vor deinem Post angefangen hatte, damit hier nicht zwei 'Helfenwollende' gleichzeitig arbe1ten. (Hoffe das erg1bt so halbwegs Sinn und ist nicht zu chaotisch @Mods.)

LG
sibelius84

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