Natürliche Zahlen mit bestimmten Eigenschaften

11.11.2017, 19:05

FelNa1109

Natürliche Zahlen mit bestimmten Eigenschaften

Wieviele natürlich Zahlen $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1 Million sind weder von der Form $\begin{eqnarray*} x^2, x^3, x^5 \end{eqnarray*}$ ?

Also für mich sah das auf den ersten Blick stark nach Inklusion-Exklusion aus, also hab ich es so auch probiert:

Dazu seien nun
$\begin{eqnarray*} M=\left\{x\in\mathbb N : x\leq 1000000\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_2=\left\{ x\in \mathbb N : x^2\leq1000000 \right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_3=\left\{ x\in \mathbb N : x^3\leq1000000 \right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_5=\left\{ x\in \mathbb N : x^5\leq1000000 \right\} \end{eqnarray*}$

Dann ist denke ich gesucht: $\begin{eqnarray*} | M\setminus (A_2\cup A_3\cup A_5) | \end{eqnarray*}$
Wir haben:

$\begin{eqnarray*} | A_2 | = 1000, | A_3 | = 100, | A_5 | = 15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | A_2\cap A_3 | = 100, | A_3\cap A_5 | = 15, | A_2\cap A_5 | = 15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | A_2\cap A_3\cap A_5 | = 15 \end{eqnarray*}$

Es ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} | M\setminus (A_2\cup A_3\cup A_5) | = | M | - | A_2 | - | A_3 | - | A_5 | + | A_2\cap A_3 | + | A_3\cap A_5 | + | A_2\cap A_5 | - | A_2\cap A_3\cap A_5 | = 999000 \end{eqnarray*}$

Wäre schön wenn mir jemand helfen könnte, danke ^^

11.11.2017, 19:08

HAL 9000

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Der Fehler liegt bereits in der Konstruktion:

Zitat:

Original von FelNa1109
$\begin{eqnarray*} A_2=\left\{ x\in \mathbb N : x^2\leq1000000 \right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_3=\left\{ x\in \mathbb N : x^3\leq1000000 \right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_5=\left\{ x\in \mathbb N : x^5\leq1000000 \right\} \end{eqnarray*}$

Was du tatsächlich hier betrachten musst, ist stattdessen

$\begin{eqnarray*} A_2=\left\{ x^2 \bigm| x\in \mathbb N,\; x^2\leq 1000000 \right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_3=\left\{ x^3 \bigm| x\in \mathbb N,\; x^3\leq 1000000 \right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_5=\left\{ x^5 \bigm| x\in \mathbb N,\; x^5\leq 1000000 \right\} \end{eqnarray*}$ .

Damit ist dann aber z.B.

$\begin{align*} A_2\cap A_5=\left\{ x^{10} \bigm| x\in \mathbb N,\; x^{10}\leq 1000000 \right\} \end{align*}$

und zwar wegen $\begin{align*} \operatorname{kgV}(2,5)=10 \end{align*}$ , usw.

11.11.2017, 19:27

FelNa1109

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Ah, ok danke. Und was die Mächtigkeiten angeht, kann ich die dann beispielweise für $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ so bestimmen:
$\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ enthällt alle die $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ für die gilt, dass $\begin{eqnarray*} x^2\leq1000000, x\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Da nun $\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{1000000} = 1000 \end{eqnarray*}$ gibt es genau Tausend Quadratzahlen, welche dies erfüllen und deshalb ist $\begin{eqnarray*} | A_2 |=1000 \end{eqnarray*}$ ?

11.11.2017, 19:34

HAL 9000

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Ja, die Mächtigkeiten der $\begin{align*} A_k \end{align*}$ stimmen schon mit deinen oben überein - aber bei den Durchschnitten gibt es dann Abweichungen. Augenzwinkern

11.11.2017, 19:35

FelNa1109

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Gut, genau das wollte ich wissen. Die Mächtigkeiten, von den Schnitten kann ich ja dann genauso berechnen. Von daher Danke smile

11.11.2017, 19:41

HAL 9000

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Die Feinheit mit den kgV ist hier nicht so wichtig, da 2, 3 und 5 paarweise teilerfremd sind. Das war eher gedacht für ähnliche Aufgaben wie

Zitat:

Wieviele natürlich Zahlen $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1 Million sind weder von der Form $\begin{eqnarray*} x^4, x^6 \end{eqnarray*}$ ?

Dort müsste man dann beachten, dass Zahlen, die sowohl in der Form $\begin{align*} x^4 \end{align*}$ als auch in der Form $\begin{align*} y^6 \end{align*}$ darstellbar sind genau die Form $\begin{align*} z^{\operatorname{kgV}(4,6)}=z^{12} \end{align*}$ haben müssen, also nicht etwa $\begin{align*} z^{4\cdot 6}=z^{24} \end{align*}$ , wie man vielleicht naiv annehmen könnte. Augenzwinkern

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