Rekursive Folge und Monotonie

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manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive Folge und Monotonie
Hey Leute,

ich habe da folgende Folge, die ich auf Monotonie untersuche:
, rekursiv definiert:


Ich habe durch berechnen einiger Funktionswerte mit verschiedenen a0's herausgefunden dass sie vermutlich für...
...0<a0<1 streng monoton fällt, (hier whr. durch 1 nach oben beschränkt und durch 1/2 von unten)
...a0=1 konstant ist (also monoton)
...a0>1 streng monoton wächst (durch 2 nach oben und 1 nach unten beschränkt)

Den Fall, dass sie Konstant ist beweist man ja leicht mittels Induktion über n.

Für den Fall a0>1 berechne ich f(n+2)/f(n+1) und erhalte dabei dann
, das muss (wenn es str. mon. fallend) kleiner 1 sein. Hier dachte ich mir, könnte ich verwenden, dass (so wie beim probieren am Anfang vermutet).

Dies beweise ich durch Induktion über N:

Induktionsanfang: n=0: a0>1 nach Bedingung für diesen Fall.
Induktionsschritt: ich erhalte dass ist, hier stecke ich fest. Es gelingt mir einfach nicht auf a_n+1>1 zu kommen.

Meine Frage, ist jetzt, mache ich das alles soweit richtig und zweitens, wie kann ich den Induktionsbeweis hinbekommen?

Danke und LG!
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Manuel,

ich denke, vom Herangehen her sieht das schon ganz ok aus. Genau, der konstante Fall ist trivial und leicht mit Induktion abgehakt.

Nun sagen wir mal, a_0:=0,5. Dann



Damit ist widerlegt, dass sie für a_0<1 monoton fallend ist. Ist es nicht vielleicht eher sogar umgekehrt? Also dass sie für a_0<1 monoton steigt?

Wichtig ist ja der Wert dieses Bruch-Faktors, mit dem das Folgenglied beim Schritt von n auf n+1 multipliziert wird. Ist der immer kleiner als 1, so fällt das Ding. Ist der immer größer als 1, so steigt es.

Falls es in der Aufgabe um mehr geht als nur Monotonie, müsstest du die Beschränktheit auch noch per Induktion zeigen (zusammen mit der Monotonie ergibt das sogar Konvergenz und der Grenzwert ließe sich leicht berechnen).

LG
sibelius84
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist mit . Aus



folgt die strenge Monotonie der Funktion , sogar auf ganz . Der Rest läuft dann nach bekanntem Schema:

Für ist , und damit dann streng monoton wachsend.

Für ist , und damit dann streng monoton fallend.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Rekursionsfolgen werden oft in Ana1 gemacht, wo man die Ableitung (ob nun aus der Schule bekannt oder nicht) noch nicht benutzen darf. Das mit dem T ist eine schöne "Kompaktifizierung" (für's Auge), die Monotonie müsste man aber wohl "zu Fuß" zeigen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe zu oft, wie sich Leute in den Termen solcher rekursiven Folgen verheddern - wo doch mit ein wenig "Struktur" (die auch nicht wirklich mehr an Grundwissen voraussetzt) alles viel übersichtlicher wird. Na egal, war ja auch nur ein Angebot, das man nicht annehmen muss. Augenzwinkern

Den Einwand mit der "nicht benutzbaren Ableitung" finde ich eher albern.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Über die Albernheit entscheiden weder du noch ich, sondern Manuel bzw. sein Übungsleiter...
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss da sibelius84 Recht geben, so sehr die Ableitung auch logisch ist und ich daher keinen Einwand hätte diese zu verwenden, wurde das in meiner Analysis 1 Vorlesung noch nicht definiert (offiziell "kenne" ich also nicht mal eine "Ableitung"), weshalb ich sie als Werkzeug in diesem Zusammenhang nicht verwenden darf/soll. Es geht darum, mit dem Bekannten auszukommen und damit umzugehen zu lernen.

Weshalb dann schwerere Beispiele durchgemacht werden obliegt wiederum nicht mir Augenzwinkern

Aber wie HAL sagt, ein Angebot ist nie schlecht, vor allem weil man dadurch auch was dazulernt und Zusammenhänge verstehen lernt, auch wenn ich es dann in der Prüfung in einigen Monaten nicht so hinschreiben würde smile
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

und zum Beispiel,

es ist wahr, ich habe das falsch hingeschrieben:

für 0<a0<1 ist es str. monton wachsend
für a0>1 streng monoton fallend

(ich habe dann weiter unten wieder richtigerweise den Fall betrachtet a0>1: streng monoton fallend)

Leider stecke ich beim Induktionsbeweis nach wie vor fest...
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

ebenso habe ich das Problem im Falle 0<a0<1 zu zeigen, dass alle für alle n gilt: an<1, was ich dort ebenso für den Beweis der Monotonie verwende.
Irgendwie scheint mir, dass beide Probleme die selbe Ursache haben...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na Ok, der Kunde ist König: Die Ableitungs-Verweigerer können/müssen die Monotonie dann eben über



sehen.

Zitat:
Original von manuel459
ebenso habe ich das Problem im Falle 0<a0<1 zu zeigen, dass alle für alle n gilt: an<1, was ich dort ebenso für den Beweis der Monotonie verwende.
Irgendwie scheint mir, dass beide Probleme die selbe Ursache haben...

Folgt direkt aus Darstellung .


Insgesamt kann man dem Verlauf von so ziemlich alles ablesen, was mit der Folge bei verschiedenen Anfangswerten so passiert:

manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! Wäre nie darauf gekommen, das so umzuschreiben.

Nochmals Danke für die Mühe! smile
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