Gleichungen mit Äquivalenzklassen

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Croomer Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungen mit Äquivalenzklassen
Meine Frage:
mit ist die Menge aller Äquivalenzrelationen von .
Mit den Verknüpfungen



Bei einer der Aufgaben dazu habe ich Probleme:
Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen jeweils über :
(i)
(ii)


Meine Ideen:
(i)Für p=8: mit
Also muss y=0 btw. x=[0] sein.
Ist das jetzt die einzige Lösung? Weil [0]=[8]=[16]=[8k] mit k aus den ganzen Zahlen also wäre y=4, y=8... also y=4k die Lösung.
Muss ich jetzt alle davon aufschreiben, oder nur y=0 und y=4? (y=8 ist ja das selbe wie y=0)

Für p=10 wäre es dann y=0,5,10,15...
Für p=11 wäre es y=0,11,22...

(ii) p=8:
Das ist ja erfüllt für y=1,3,5,7,9....

p=10:
Da hab ich keine Lösung gefunden, weil k10-7 immer eine Zahl ist, die ich nicht als Quadrat ausdrücken kann.

p=11: y=2,8,16,37,53,88,112,161
Aber hier ist mir kein "Muster" aufgefallen, wie bei den anderen möglichen Ergebnissen.

Meine Frage speziell ist jetzt eigentlich: muss ich für die Gleichungen jede Äquivalenzklasse angeben (also bei (ii) p=8 ) oder kann ich für [1]=[9]=[17] nur einen Repräsentanten angeben (also [1],[3],[5],[7] als Lösung]?

Und: Ist meine Lösung bei (ii) p=11 korrekt? Wenn ja wie kann ich dann alle aufzählen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es handelt sich hierbei nicht um Mengen von Äquivalenzrelationen sondern um Mengen von Äquivalenzklassen.
Die Mengen sind endlich, also muss man nur die Elemente zu Lösungsmengen zusammenfassen, die die Gleichungen erfüllen. Natürliche Zahlen größer als 8,10,11 muss man gar nicht betrachten.
 
 
Croomer Auf diesen Beitrag antworten »

Da habe ich mich mal wieder verschrieben: ich meinte Äquivalenzklassen.

Oh, bei (ii) p=11 hab ich dazu noch einen Fehler gemacht, die Lösungen wären y=2,9,13,20...
alsi y=2 und y=9.

Danke für deine Hilfe.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösungen sind nicht und auch nicht und auch nicht , sondern und . Es geht nicht um natürliche Zahlen oder um natürliche Zahlen als Vertreter von Äquivalenzklassen, es geht um die Äquivalenzklassen selbst. Die Mengen bestehen nicht aus Zahlen sondern aus Klassen.
Croomer Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt hab ichs richtig verstanden, denke ich.

Vielen Dank, dass du mich so fleißig korrigierst.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen. Bedenke, dass endliche Mengen sehr viel leichter zu beherrschen sind als unendliche Mengen. Für mich ist es unverständlich, dass man in der Schule alles mögliche halbgare Zeug über unendliche Mengen, Strukturen und Funktionen lernen soll aber nichts über endliche Mengen und Strukturen lernt. Die Kongruenzrechnung gehört in die Oberstufe von Gymnasien !
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