(In)homogene Geradengleichung berechnen

12.11.2017, 12:05	Sebaka	Auf diesen Beitrag antworten »
(In)homogene Geradengleichung berechnen Meine Frage: In $\begin{eqnarray} \mathbb P^3 \end{eqnarray}$ sind zwei Punkte $\begin{eqnarray} A = (3 : 6 : 5), B = (1 : 0 : -1) \end{eqnarray}$ gegeben. Von der Geraden $\begin{eqnarray} g=AB \end{eqnarray}$ sind die homogene und die inhomogene Geradengleichung zu berechnen. Meine Ideen: Kann ich nun die Geradengleichung aufstellen, indem ich einfach das Kreuzprodukt der homogenen Punktgleichungen nehmen, also $\begin{eqnarray} A\times B \end{eqnarray}$ , damit erhalte ich den Normalvektor der mir die Ebene beschreibt und dieser ist zugleich meine projektive Gerade? $\begin{eqnarray} A\times B \end{eqnarray}$ wäre $\begin{eqnarray} [-6 : 8 : -6] \end{eqnarray}$ . Ist dies dann meine homogene Geradengleichung? Und wenn ja, wie komme ich von dieser auf die inhomogene? Einfach durch $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ dividieren ist bei der Geradengleichung vermutlich zu einfach, oder reicht das tatsächlich?
12.11.2017, 19:24	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die homogene Geradengleichung lautet demnach $\begin{eqnarray} -6x_1 + 8x_2 - 6x_3 = 0 \end{eqnarray}$ bzw. gekürzt: $\begin{eqnarray} -3x_1 + 4x_2 - 3x_3 = 0 \end{eqnarray}$ Nun wird durch $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ dividiert: $\begin{eqnarray} -3 \frac {x_1}{x_3} + 4 \frac {x_2}{x_3} - 3 = 0 \end{eqnarray}$ und mit $\begin{eqnarray} x_1' = \frac {x_1}{x_3} \text{ und }x_2' = \frac {x_2}{x_3} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} -3x_1' + 4x_2' - 3 = 0 \end{eqnarray}$ die inhomogene Geradengleichung. mY+
12.11.2017, 19:43	Sebaka	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort. Sprich es funktioniert genau wie bei den Punkten. Eine Frage dann noch: kann ich auch die inhomogenen Koordinaten verwenden und damit einfach die Geradengleichung aufstellen? Das wäre in diesem Fall quasi $\begin{eqnarray} A'(0.6, 1.2), B'(-1, 0) \end{eqnarray}$ woraus sich der Richtungsvektor $\begin{eqnarray} AB=(-1.6, -1.2) \end{eqnarray}$ ergibt. Somit kann ich die Gerade mit $\begin{eqnarray} g = (0.6, 1.2) + t (-1.6, -1.2) \end{eqnarray}$ angeben. Wenn ich diese nun auf die Normalform $\begin{eqnarray} y = kx+d \end{eqnarray*}$ umforme, kommt ich ebenso auf Ihr Ergebnis. Macht natürlich Sinn, dass hier das gleicher Ergebnis vorliegt. Danke noch einmal.
12.11.2017, 21:39	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, diese Frage ist mit JA zu beantworten. mY+

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