Integral über das Volumen mit Zusatzbestimmungen

12.11.2017, 13:18

Artjom

Integral über das Volumen mit Zusatzbestimmungen

Meine Frage:
Hey Matheboard Forum,
ich habe ein kleines Problem bei einer Aufgabe und mir fehlt ein kleiner anstupser denke ich, ich hoffe jemand von euch könnte mir dabei helfen.
Ich habe eine 3 Dimensionale Figur deren Volumen zu berechnen ist, und danach zusätlich der Schwerpunkt der Figur.
Folgendes ist gegeben: Ein Kreis mit dem Radius 40, der oben sozusagen um 1,32 runter gedrückt wird und unten um 1,32 angebohebn. Also entsteht sozusagen ein ausschnitt aus einem Zylinder.( Vllt Wichtig zu sagen, wenn ich mein y-x Koordinaten auf den Quarschnitt des Kreises lege, verläuft die z- Achse jeweils an den Kanten grade runter. Also ein ausschnitt aus einem Zylinder und keiner Kugel! Da der Radius sich verändert)
Ich habe den Querschnitt aufgeteilt in der hälfte, weil es wichtig für die aufgabe ist. Im Prinzip waren das die ganzen Angaben.

Meine Ideen:
Nun mein Versuch die Aufgabe zu lösen. Ich kenne mich mit Polarintegralen nicht so gut aus, deswegen hab ich das gelassen und versucht es durch Kartesischen Integral zu lösen.
Da ich nun, nur die hälfte des Querschnitts habe, setze ich mein Achsenursprung in der Mitte, unten am Kreis an. Die Integralgrenzen von x (-20 bis 20) sind mir bekannt, die grenzen von y (Hab ich die Funktion eines Halbkreises genommen, also von 0 bis y=sqrt(r^2-x^2)) also auch bekannt, für den verlauf auf der z Achse ( habe ich Folgende partielle Funktion angenommen z=-33*y/500 , da z nur y entlang von -1,32 bis 1,32 steigt über 40 cm querschnitt, bleibt x aus da wir dort keine veränderung haben und eine konstante gibt es nicht da es sich im Koordinaten Ursprung kreuzt.)
Mein Integral für das Volumen sieht wiefolgt aus:
$\begin{eqnarray*} \int_{-20}^{20} \! \int_{0}^{y=\sqrt{400-x^2} } \!\int_{0}^{z=-\frac{33\times y}{500} } \!1 \, dz, dy, dx \end{eqnarray*}$

Damit komme ich auf einen Volumen von 704 (FE), eine kleine Plausibilitäts Kontrolle: Kugel Volumen : $\begin{eqnarray*} \frac{4\times \pi \times r^{3} }{3} \end{eqnarray*}$
Kugel umschliesst 360° mein ausschnit umschliesst $\begin{eqnarray*} \arctan(\frac{1,32}{20} ) \times 2 \end{eqnarray*}$

Also rechne ich: $\begin{eqnarray*} \frac{4\times \pi \times r^{3} }{3} \times \frac{\arctan(\frac{1,32}{20} ) \times 2}{360} \end{eqnarray*}$

Damit komme ich auf 702,98 (FE)
Die kleine abweichung entsteht dadurch, dass ich ein Zylinder ausschnitt hab und keine Kugel. Also ist an meinem Ausschnit etwas mehr Volumen.

Nun das Problem wobei ich scheitere, ich muss jetzt den Schwerpunkt des Körpers bezogen auf die x-Achse ausrechnen. ALso muss ich auf irgend eine weise in mein vorhandenes Integral für das Volumen, den jeweiligen Hebelarm zum Koordinaten ursprung angeben. Aber wie genau baue ich sinnvoll diesen Hebelarm von jedem Flächelchen das ich aufsummiere zur x-Achse ein?

Hab schon einiges versucht unter anderem das Integral: $\begin{eqnarray*} \int_{-20}^{20} \! \int_{0}^{y=\sqrt{400-x^2} } \!\int_{0}^{z=- \frac{33\times y}{500} } \!y \, dz, dy, dx \end{eqnarray*}$

Aber komme damit auf einen Schwerpunkt von 5,89 cm von der Achse, bei 20 cm Radius. Das scheint mir sehr daneben zu sein, da ich bei flachem Kreis schon bei ungefähr 20*0,44=8,8 wäre.

Könnte mir da jemand von euch evtl. helfen?
Ich bedanke mich im vorraus für jede hilfreiche Antwort.

MfG Artjom

12.11.2017, 20:06

ML_

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RE: Integral über das Volumen mit Zusatzbestimmungen
Hallo,

Zitat:

ich habe ein kleines Problem bei einer Aufgabe und mir fehlt ein kleiner anstupser denke ich

der "kleine Anstubser" wäre folgender: Poste ein Bild Deiner Figur und kürze den Text um den Faktor 10. Dann ist vielleich jemand bereit, sich in Dein Problem einzudenken.

Viele Grüße
Michael

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