Rekursionsformel aufstellen

12.11.2017, 13:34	FelNa1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursionsformel aufstellen Wir betrachten folgende Folge $\begin{eqnarray} A(n) \end{eqnarray}$ von umgangssprachlichen Sätzen: $\begin{eqnarray} A(0) \end{eqnarray}$ In der Mensa gibt es Fleisch und Gemüse. $\begin{eqnarray} A(1) \end{eqnarray}$ Im vorherigen Satz steht kein Komma zwischen Fleisch und und und und und Gemüse. $\begin{eqnarray} A(2) \end{eqnarray}$ Im vorherigen Satz steht kein Komma zwischen Fleisch und und und und und und und und und und und und und und und und und und und und und Gemüse. $\begin{eqnarray} A(3) \end{eqnarray}$ Im vorherigen Satz steht... Wieviel "und"s stehen im Satz $\begin{eqnarray} A(n) \end{eqnarray}$ ? Stellen Sie eine Rekursionsformel für diese Anzahl auf und lösen Sie diese. Also wie ich eine Rekursionsformel allg. aufstellen kann, haben wir in der Vorlesung behandelt. Aber was hier die Bildungsvorschrift sein soll ist mir echt schleierhaft, diese ganzen und´s wirken auf mich ziemlich strange... Hoffe mir kann jemand nen Schlag aufm Hinterkopf geben, sodass ich es erkenne. Danke
12.11.2017, 20:08	FelNa1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls es irgend wen noch interessiert, habe es jetzt glaube ich mit $\begin{eqnarray} a_0=1, a_1=5, a_{n+2}=4a_{n+1}+a_n \end{eqnarray}$ hin bekommen. Multiplikation mit $\begin{eqnarray} z^{n+2} \end{eqnarray}$ und summieren über $\begin{eqnarray} n\geq0 \end{eqnarray}$ hat ergeben, dass $\begin{eqnarray} A(z)=\frac{-z-1}{z^2+4z-1} \end{eqnarray}$ ist. Anschließende Nullstellenbestimmung des Nenners hat geliefert, dass die Nst. $\begin{eqnarray} \alpha_1=-2+\sqrt{5} , \alpha_2=-2-\sqrt{5} \end{eqnarray}$ sind. Jetzt noch Partialbruchzerlegung ergibt $\begin{eqnarray} A(z)=\frac{-z-1}{z^2+4z-1} = \frac{-(3\sqrt 5+5)}{10} \frac{1}{1-\frac{1z}{\alpha_1 } } + \frac{3\sqrt 5-5)}{10} \frac{1}{1-\frac{1z}{\alpha_2 } } \end{eqnarray}$ Kennt man jetzt auch noch rein zufällig die Reihen, so hat man letztenendes: $\begin{eqnarray} a_n=\| \frac{-(3\sqrt 5+5)}{10} (\frac{1}{\alpha_1})^n + \frac{3\sqrt 5-5)}{10} (\frac{1}{\alpha_2})^n \| \end{eqnarray}$
12.11.2017, 21:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit ich die Satzkonstruktionen verstehe, geht es hier eher um $\begin{align} a_{n+1} = 4a_n+1 \end{align}$ und damit dann $\begin{align} a_n = \frac{4^{n+1}-1}{3} \end{align}$ .

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