Banachscher Fixpunktsatz - Körper vollständig

12.11.2017, 14:10	vollst	Auf diesen Beitrag antworten »
Banachscher Fixpunktsatz - Körper vollständig Hallo zusammen, wieso muss der Körper vollständig sein, um die Cauchy-Folge zu konvergieren und um zu zeigen, dass ein Fixpunkt existiert? Ich habe gezeigt, dass die Folge eine C-F ist und das ist äquivalent zu sagen, dass die Folge konvergiert. So es existiert einen Grenzwert. Und dann dachte ich, dass das reicht aber ich habe gerade gelesen, dass der Körper vollständig sein muss. Danke im Voraus.
12.11.2017, 14:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Banachscher Fixpunktsatz - Körper vollständig Die Definition von vollständig ist gerade, dass alle Cauchy-Folgen konvergieren. In einem unvollständigen Raum müssen Cauchy-Folgen nicht konvergieren (können aber natürlich dennoch.)
12.11.2017, 14:23	vollst	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm ok dann gibt es verschiedene Definitionen der Vollständigkeit. Z.B. Im Skript steht: Ein angeordneter Körper K ist vollständig, wenn jede nach oben beschränkte, nicht-leere Teilmenge von K ein Supremum besitzt. Ich sehe keinen Weg, wie ich diese Definition benutzten kann, um sicher zu sein, dass die alle C-F konvergieren. Deine Definition macht Sinn in diesem Fall, weil z.B. meine Folge in R->R ist und R ist vollständig. Aber die oben Definition ist merkwürdig. Ich habe auch einen Satz, der steht: die zwei Aussagen sind äquivalent: eine Folge konvergiert <=> die folge ist eine C-F. Denkst du, dass ich etwas über Vollständigkeit aufschreiben muss, wenn ich diesen Satz habe?
12.11.2017, 14:54	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt jede Menge äquivalente Definitionen von Vollständigkeit, das stimmt. In dem Fall würde ich es so versuchen. Sei $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ eine Cauchy-Folge. Wir benutzen 2 Eigenschaften: (i) Jede Cauchy-Folge beschränkt ist. (ii) Eine Cauchy-Folge konvergiert genau dann, wenn eine Teilfolge konvergiert. Also ist $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ beschränkt. Ferner besitzt $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ eine monotone Teilfolge $\begin{eqnarray} (a_{n_k}) \end{eqnarray}$ . Nehmen wir an monoton wachsend. Dann ist $\begin{eqnarray} \{ a_{n_k} \mid k \in \mathbb N \} \end{eqnarray}$ eine beschränkte Menge. Das Supremum ist der Grenzwert der Cauchy-Folge. Und in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ stimmt die Äquivalenz $\begin{eqnarray} (a_n) \text{ konvergiert } \iff (a_n) \text{ ist Cauchy-Folge} \end{eqnarray}$ . Im Allgemeinen gilt sogar $\begin{eqnarray} (a_n) \text{ konvergiert } \implies (a_n) \text{ ist Cauchy-Folge} \end{eqnarray}$ . Aber andere Richtung ist einfach falsch. Einfache Beispiele sind sind Folgen in $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ , welche gegen irrationale Zahlen konvergieren. Diese sind auch in $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ Cauchy-Folgen, konvergieren aber nur in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ .

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