2 divergente Reihen, Cauchy-Produkt konvergent

12.11.2017, 14:41

mathefrager123

2 divergente Reihen, Cauchy-Produkt konvergent

Meine Frage:
Hallo,

kann mir jemand ein Beispiel für 2 divergente Reihen geben, deren Cauchy-Produkt konvergiert?
Oder eine Idee, wie man ein solches Bsp findet..

Danke smile

Meine Ideen:
/

12.11.2017, 18:00

Elvis

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$\begin{eqnarray*} a_n=\frac 1 n, b_n=(-1)^n \end{eqnarray*}$ oder so ähnlich ... divergent sind die beiden Reihen jedenfalls...

13.11.2017, 12:58

Huggy

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Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac 1 n, b_n=(-1)^n \end{eqnarray*}$ oder so ähnlich ... divergent sind die beiden Reihen jedenfalls...

Wie ist das gemeint? Ich hätte es so interpretiert:

$\begin{eqnarray*} A=\sum_{n=1}^\infty \frac 1 n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \end{eqnarray*}$

C = Cauchyprodukt von A und B

Behauptung: A und B sind divergent. C ist konvergent.
Das ist aber meiner Meinung nach nicht richtig. Auch C ist divergent.

Beispiele für divergente Reihen, deren Cauchyprodukt konvergent ist, lassen sich aber leicht konstruieren.

13.11.2017, 13:25

Elvis

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Ja, das war so gemeint. C ist divergent ? Bist du sicher ? Knapp daneben Klo

(Um mich abzusichern hatte ich ja auch schon formuliert "oder so ähnlich")

13.11.2017, 14:06

Huggy

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Zitat:

Original von Elvis
C ist divergent ? Bist du sicher ? Knapp daneben Klo

Ich bin mir sicher. Sei

$\begin{eqnarray*} C=\sum_{n=2}^\infty c_n \end{eqnarray*}$

Dann ist gemäß der Definition des Cauchyprodukts

$\begin{eqnarray*} c_n=\sum_{i=1}^{n-1}\frac 1 i (-1)^{n-i}=(-1)^{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\frac 1 i \end{eqnarray*}$

Wenn man das mit der Taylorreihe von $\begin{eqnarray*} \ln(1+x) \end{eqnarray*}$ vergleicht, sieht man

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}|c_n|=\ln (1+1)=\ln 2 \end{eqnarray*}$

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