Volumen und geometrischen Schwerpunkt eines Kegels berechnen

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Knightfire662 Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen und geometrischen Schwerpunkt eines Kegels berechnen
Meine Frage:
Hallo,
ich muss die folgende Aufgabe lösen komme aber nicht wirklich weiter...
ich habe zwar einiges aus dem Script und Youtubevideos raus aber die bringen mich auch nicht richtig weiter...
[attach]45666[/attach]
und die b:
[attach]45665[/attach]

mfg.

Meine Ideen:
Ich habe folgende Sachen herausgefunden...
[attach]45667[/attach]
Knightfire66 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen und geometrischen Schwerpunkt eines Kegels berechnen
So ich glaube mein Kegel ist nach oben geöffnet und liegt genau im Ursprung.

Der Radius der Grundfläche, also ganz oben... ist 0.5?

Die Seite kenn ich nicht, so dass ich auch nicht die Höhe h durch Pythagoras bekommen kann...

Für den Schwerpunkt brauche ich ja die Formel für Ys. Aber ich habe nur die für Xs, also X-Koordinate des Schwerpunkts... kann ich irgendwie den Kegel um 90° kippen?

mfg.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Knightfire66,

kannst du den Kegel in Zylinderkoordinaten schreiben? (D.h.: Für (x,y) ebene Polarkoordinaten (rcos(t),rsin(t)) und z so lassen, wie es ist.) Dann vereinfacht sich deine Kegelgleichung beträchtlich.

Du musst ja das Volumen durch Integration berechnen, d.h. z.B. wenn da steht "0 <= z <= 1", dann entspricht das

.

Um ein Volumen zu berechnen, wählt man als Integranden die konstante Einsfunktion (also für alle r, t, z aus dem Definitionsbereich von f).

LG
sibelius84
Knightfire66 Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß nicht wie ich ds in Zylinderkoordinaten genau aufschreiben soll...

ich dachte ich mache das durch Dreifachintegral aber das ist sogar noch aufwendiger...

was setze ich also genau für f(x) in die Volumenformel oben ein?

Und ich denke die Höhe ist 1 und mein Radius der Grundfläche auch 1. Mit bekomme ich für das Volumen 1.047 VE raus.

Aber das ist ja egal, da ich s sowieso wie du schon gesagt hat durch Integrieren lösen muss...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ein alternativer Vorschlag (damit ist die Berechnung des Volumens ein Einzeiler):

Die rotierende Seitenlinie hat in der x-z - Ebene die Gleichung
Das Volumen eines Elementarzylinders ist , dieses wird nun mittels Integration aufsummiert:



Übrigens liegt im Nullpunkt NICHT die Spitze des Kegels, sondern der Mittelpunkt des Basiskreises, die Spitze ist S(0; 0; 1).

mY+
Knightfire66 Auf diesen Beitrag antworten »

jo ich hatte auch gedacht, dass die Grundfläche im Ursprung liegt, aber ein Kommilitone hatte gemeint das ist nach oben geöffnet... naja egal die Grundfläche ist also im Ursprung...

ich werd den einzeiler nehmen und natürlich den ganzen Lösungsweg hinschreiben dann reichts glaub ich für die a)...

für die b) ... ist das in Ordnung wenn ich einfach das Verhältniss 1:3 nehme und sage der Sp des Kegels liegt bei (0,0,1/4)?... oder muss ich das wie auch immer ausführlich berechnen?

wenn ja dann wäre die Lösung gerne willkommen...

mfg.
 
 
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Moin moin,

ich denke leider Nein, du musst wieder integrieren:
https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrisc...t#K.C3.B6rper_2

LG
sibelius84
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber dieses Integral ist ebenfalls nicht so schwer.
Da der Schwerpunkt bei rotationssymmetrischen Körpern auf der Rotationsachse liegen muss, lauten seine Koordinaten

berechnen wir nun mittels

V wurde schon berechnet (sh. die vorigen Beiträge), übrigens geht dies auch verhältnismäßig gut mittels eines Dreifachintegrals in Zylinderkoordinaten, wie von sibelius84 schon angedeutet *

Es ist also

Berechne nun dieses bestimmte Integral.

Das Ergebnis korrespondiert mit der Tatsache, dass der geometrische Schwerpunkt des Kegels in einem Viertel der Höhe h auf derselben liegt (Abstand S von der Basis ist h/4)
------------

(*)


mY+
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