Ordnungsstatistik, gemeinsame Dichte, Schritt unklar

12.11.2017, 16:10	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnungsstatistik, gemeinsame Dichte, Schritt unklar Hallo zusammen, ich beschäftige mich momentan mit Ordnungsstatistiken. Ich stoße bei der gemeinsamen Dichte von mehreren Ordnungsstatistiken zu einem Problem. Die gemeinsame Dichte von $\begin{eqnarray} X_{(n_1)},...,X_{(n_k)} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 1\leq n_1<...<n_k \leq n; 1 \leq k \leq n$ \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x_1 \leq ... \leq x_k \end{eqnarray}$ ist gegeben als $\begin{eqnarray} f_{(n_1)...(n_k)}(x_1,...,x_k)=\frac{n!}{(n_1-1)!(n_2-n_1-1)!\cdot \cdot \cdot(n-n_k)!}F^{n_1-1}(x_1)f(x_1)[F(x_2)-F(x_1)]^{n_2-n_1-1}f(x_2) \cdot \cdot \cdot [1-F(x_k)]^{n-n_k}f(x_k) \end{eqnarray}$ Jetzt heißt es in vielen Literaturen, ohne weitere Erklärung: Definieren wir $\begin{eqnarray} x_0 = -\infty, x_{k+1}=+\infty, n_0=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n_{k+1}=n+1 \end{eqnarray}$ , so wird die rechte Seite der Gleichung zu $\begin{eqnarray} \left [ \ \prod_{j=1}^{k}f(x_j) \right ] \prod_{j=0}^{k} \Bigg \{ \frac{[F(x_{j+1})-F(x_j)^{n_{j+1}-n_j-1}]}{(n_{j+1}-n_j-1)!} \Bigg \} \end{eqnarray}$ Wie kommt man zum obigen Ausdruck und wie kommt man auf die Definition von $\begin{eqnarray} x_0 = -\infty, x_{k+1}=+\infty, n_0=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n_{k+1}=n+1 \end{eqnarray}$ ? Ich hoffe jemand hat eine Idee. Vielen Dank im Voraus.
12.11.2017, 17:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich wurden da nur die Faktoren umgruppiert, unter Einbau von $\begin{align} F(-\infty) = 0 \end{align}$ und $\begin{align} F(\infty) = 1 \end{align}$ : Beides ist im Grenzwertsinn zu verstehen, d.h. $\begin{align} \lim_{x\to -\infty} F(x) = 0 \end{align}$ und $\begin{align} \lim_{x\to \infty} F(x) = 1 \end{align}$ , beides Eigenschaften, die jede Verteilungsfunktion reellwertiger Zufallsgrößen hat.
15.11.2017, 13:08	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank

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