DGL (zusammengesetzte Funktion)

13.11.2017, 10:53

epi

DGL (zusammengesetzte Funktion)

Meine Frage:
Hallo,

habe die Frage hier schonmal gestellt (komme langsam in Zeitnot^^)...

https://www.onlinemathe.de/forum/Loesung-DGL-mit-Picard-L

Meine Ideen:
siehe Link.

Gruß

13.11.2017, 11:42

sibelius84

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Hallo epi,

einerseits finde ich es gut, dass du explizit angibst, die selbe Frage in einem anderen Forum schon mal gepostet zu haben.
Andererseits verstehe ich es doch nicht wirklich; denn die Aufgabe hat Teile a) bis d), auf onlinemathe hattest du es vor zwei Tagen gepostet und es hatte dir bereits am selben Tag jemand geantwortet, dass deine Lösungen zu a) und b) ok sind, bei c) habt ihr einen Fuß in der Tür und für d) hast du auch einen Tipp bekommen.

Ich sehe das so: Geholfen wird bei inhaltlichen Fragen und Verständnisproblemen immer sehr sehr gerne, aber keine online-community (weder onlinemathe noch matheboard) sind für den punktemäßigen Erfolg deiner ÜB-Abgaben verantwortlich.

Wenn du inhaltlich konkrete Fragen stellen kannst, wie etwa
- Warum brauche ich zumindest lokale Lipschitz-Stetigkeit der rechten Seite, damit ein AWP eindeutig lösbar ist?
oder was es auch sei, dann bin ich gerne bereit, dich zu unterstützen (heute abend dann, gleich muss ich weg).

LG
sibelius84

13.11.2017, 12:33

3,1415

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Hallo sibelius84,

Alles klar, dann kam das falsch rüber.
Sicher ist niemand dafür (außer mir selbst) verantwortlich. Ich hatte bei besagter Frage lediglich 2 Rückfragen, in denen ich wissen wollte, ob meine Gedanken richtig sind:

zu a) (bei der ich nur einen Lösungsansatz habe):
Der 2. Quadrant der x-t Ebene, also dem D(f), gehört (außer einem Teil der Parabel $\begin{eqnarray*} x \geq t^2 \end{eqnarray*}$ ) nicht zum D(f) oder? Denn die oben geg. zusammengesetzte Funktion liefert mir für diese Punkte keine Bildungsvorschrift.

die zweite zur Picard It.:
konkret: Stimmt es, daß hier konstante Funktionenfolgen rauskommen?
Denn der Integrand in

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{t} \! f(s,x_n(s)) \, ds \end{eqnarray*}$ hängt nur von s ab (weil f(t,x)=2t und s substituiert t).
Daher käme im nächsten Schritt, das gleiche Integral (?).
Wäre dies richtig, dann würde daraus keine Konvergenz gegen eine Lösung folgen.

Dann viel Erfolg und vielen Dank für die Rückmeldung!
Gruß

13.11.2017, 17:50

sibelius84

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Zitat:

Original von 3,1415
zu a) (bei der ich nur einen Lösungsansatz habe):
Der 2. Quadrant der x-t Ebene, also dem D(f), gehört (außer einem Teil der Parabel $\begin{eqnarray*} x \geq t^2 \end{eqnarray*}$ ) nicht zum D(f) oder? Denn die oben geg. zusammengesetzte Funktion liefert mir für diese Punkte keine Bildungsvorschrift.

die zweite zur Picard It.:
konkret: Stimmt es, daß hier konstante Funktionenfolgen rauskommen?

Hi,

ok, so sieht's schon anders aus Augenzwinkern

Also, der zweite Quadrant der x-t-Ebene wäre bei mir: x<0, t>0. Dafür ist der Ast der Funktion mit x<0 zuständig. Generell sieht man der zusammengesetzten Definition der Funktion auf einen Blick an, dass hier für jeden Wert (x,t) aus |R² eine Bildungsvorschrift gegeben ist.

Konstante Funktionenfolgen - leider nein. Hier kommt etwas raus, was nicht konvergiert, also insbesondere nicht gegen eine Lösung (fühlt sich so ein wenig an wie (-1)^n).

13.11.2017, 19:52

3,1415

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Hallo,

zu a) wieso x<0, t>0? Die Abzisse ist für die Variable t zuständig und die Ordinate für x bzw. x(t) (dachte ich weil die Funktion f als f(t,x) gegeben ist und t ja hier den Platz des üblichen x und x(t) den Platz von y übernimmt). verwirrt

zu d)
achso jetzt seh ich erst, daß das garnicht funktioniert wie ich das geschrieben habe...ist ja ne zusammeng. Fkt Hammer

Ich hoffe, daß das jetzt richtig ist, ansonsten hab ich keine Idee mehr:

$\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = \int_{0}^{t} \! f(s,x_0) \, ds \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{t} \! 2t \, dt = t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = \int_{0}^{t} \! f(s,x_1(s)) \, ds \end{eqnarray*}$

Wenn ich die $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ nun statt x in f einsetze:

$\begin{eqnarray*} f= 2t, t^2<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2t, 0 \leq t^2<t^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2t, t^2\geq t^2 \end{eqnarray*}$

der erste Ast kann nie erfüllt sein, der 2. ebensowenig, also bleibt nur der 3. also

$\begin{eqnarray*} x_2 = \int_{0}^{t} \! f(s,x_1(s)) \, ds \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{t} \! -2t \, ds \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =-t^2 \end{eqnarray*}$

wiederhole ich dies für x_3 sehe ich, daß hier wieder nur der erste At in Frage kommt, also erhalte ich hier t^2...deswegen wohl Deine Bemerkung mit dem -1^n verwirrt

Also alterniert die Folge ... ist der Gedankengang richtig?

Gruß

13.11.2017, 20:12

sibelius84

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Ok. In der t-x-Ebene wäre natürlich der 2. Quadrant: t<0, x>0. Da gilt dann eben der zweite Term 2t-4x/t, falls x noch kleiner als t² ist, und der dritte Term sonst. Der Rest stimmt! Tanzen

13.11.2017, 20:26

3,1415

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Mhm ja stimmt wohl Hammer

Was für eine schwere Geburt...
Vielen lieben Dank für Deine Zeit!
Gruß Tanzen

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