Implizites Euler Verfahren

13.11.2017, 12:53

Maha15

Implizites Euler Verfahren

Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich komme einfach nicht weiter und bin am verzweifeln.
Ich weiß nicht ob ich gestresst bin oder sonst was aber ich kriege die Lösung einfach nicht hin.
Ich soll mit dem Impliziten Euler-Verfahren 3.Schritte durchführen.
für das AWP $\begin{eqnarray*} y'(x)= \sqrt{y(x)} \end{eqnarray*}$ mit y(0)=0

Meine Ideen:
Ich stelle Allgemein die FOrmel auf also

$\begin{eqnarray*} y_{n+1} = y_{n} + \sqrt{y_{n+1} } \end{eqnarray*}$

aber wie kann ich jetzt die Gleichung nach y_n+1 umformen ich verstehe das nicht das geht doch nicht !

Die Lösung für y_1= 1 was noch verständlich ist wegen

$\begin{eqnarray*} y_{1} = 0 + \sqrt{y_{1} } \end{eqnarray*}$ würde daraus 1 folgen..
aber die anderen verstehe ich einfach nicht

13.11.2017, 14:07

HAL 9000

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Bezeichnet man $\begin{align*} t:=\sqrt{y_{n+1}} \end{align*}$ , so ist die quadratischen Gleichung $\begin{align*} t^2-t-y_n=0 \end{align*}$ zu lösen, und es sind nur Lösungen $\begin{align*} t\geq 0 \end{align*}$ von Interesse.

Im Fall $\begin{align*} t>0 \end{align*}$ ist die Sache klar: Das ist $\begin{align*} t=\frac{1+\sqrt{1+4y_n}}{2} \end{align*}$ und damit $\begin{align*} y_{n+1}=\frac{\left(1+\sqrt{1+4y_n}\right)^2}{4} \end{align*}$ .

Im Fall $\begin{align*} t=0 \end{align*}$ , d.h. wie bei deinem Anfangswert, hat man hingegen zwei mögliche Lösungen: $\begin{align*} t=0 \end{align*}$ und $\begin{align*} t=1 \end{align*}$ , entsprechend $\begin{align*} y_1=0 \end{align*}$ und $\begin{align*} y_1=1 \end{align*}$ .

Das geht natürlich insoweit damit konform, dass dein AWP ja auch keine eindeutige Lösung hat. Augenzwinkern

13.11.2017, 16:14

Maha15

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Oh Super danke Hal9000 das ist echt sehr nett ich habe es jetzt verstandne.
warum betrachten wir nur t>=0 verwirrt

13.11.2017, 16:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Maha15
warum betrachten wir nur t>=0 verwirrt

Weil eine Quadratwurzel (wie $\begin{align*} \sqrt{y_{n+1}} \end{align*}$ eben eine ist!!!) nur Werte >0 annimmt.

13.11.2017, 16:37

Maha15

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Ja das habe ich mir schon gedacht ..
Wenn t=0 ist hast du gesagt wir haben zwei mögliche Lösung einmal t=1 und t=0 ich verstehe nicht wie das geht mhh verwirrt

13.11.2017, 16:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Das geht natürlich insoweit damit konform, dass dein AWP ja auch keine eindeutige Lösung hat.

Ich nenne dir mal zwei gültige Lösungen für dein AWP:

$\begin{align*} y_1(x) = \begin{cases} 0 & \; \mbox{für}\; x\leq 0<br /> \frac{x^2}{4} &\; \mbox{für}\; x\geq 0\end{cases} \end{align*}$ und $\begin{align*} y_2(x) = \begin{cases} 0 & \; \mbox{für}\; x\leq 1<br /> \frac{(x-1)^2}{4} &\; \mbox{für}\; x\geq 1\end{cases} \end{align*}$

Und das sind beileibe nicht alle. Die Konstruktion von $\begin{align*} y_2 \end{align*}$ gibt deutliche Hinweise, wie die anderen Lösungen dann aussehen.

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