Vektorpunkt berechnen

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13.11.2017, 13:41	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorpunkt berechnen Hallo zusammen, folgendes Problem: Ich habe eine Gerade die durch die Punkte p1 = (2/1); p2 =(12/3) verläuft Zudem habe ich den Punkt s=(2/3) gegeben. Jetzt soll ich einen Punkt z berechnen, der auf der Geraden liegt und vom punkt s 5 Längeneinheiten entfernt ist. Die Geradengleichung ist ja: $\begin{eqnarray} G: \vec{x}=&&\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}+\alpha \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Betrag ist ja $\begin{eqnarray} \\|z-s\\|=5 \end{eqnarray}$ das heißt wenn ich den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{z-s} \end{eqnarray}$ berechnen kann würde ich daraus z errechnen können. Nur ist jetzt das Problem das ich Probleme dabei habe den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{z-s} \end{eqnarray*}$ zu errechnen. Kann mir da vielleicht einer helfen? Oder gibt es vielleicht eine leichtere Möglichkeit das den Punkt z zu erhalten? Vielen Dank für eure Hilfe LG
13.11.2017, 14:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Da $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ auf der Gerade liegt, existiert also ein $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} z = \binom 2 1 + \alpha \binom {10} 2 \end{eqnarray}$ gilt. Wenn man das in $\begin{eqnarray} \\| z - s\\|^2 = 25 \end{eqnarray}$ einsetzt, bekommt man eine quadratische Gleichung $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ . Das kann man leicht lösen und, falls es existiert, bekommt so das $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ über die die erste Gleichung.
13.11.2017, 14:58	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Das bedeutet ich schreibe: $\begin{eqnarray} =\\|\begin{pmatrix} 2 \\1\end{pmatrix}+\alpha\begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\\|^{2}=25 \end{eqnarray*}$ Also habe ich das Gleichungssystem dann zwischen den Betragsstrichen und muss es da lösen oder?
13.11.2017, 15:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibe doch erst einmal $\begin{eqnarray} \binom 2 1 + \alpha \binom{10} 2 - \binom 2 3 = \binom { 2 + 10 \alpha - 2 } { 1 + 2\alpha - 3} \end{eqnarray}$ nach einfacher Vektorrechnung. Das kann man etwas vereinfachen und du solltest wissen was die Norm eines Vektors ist.
13.11.2017, 15:51	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich das in Normschreibweise schreibe erhalte ich: $\begin{eqnarray} &&(2+10\alpha-2)^{2}+(1+2\alpha-3)^{2}\\=&&100\alpha^{2}+(-2+2\alpha)^{2}\\=&&10\alpha^{2}+4+8\alpha+8\alpha^{2}\\=&&104\alpha^{2}+8\alpha+4 \end{eqnarray*}$ Ich habe jetzt die Wurzel erstmal weggelassen. Ist das bis dahin korrekt oder habe ich mich irgendwo verrechnet? Danach muss ich den Ausdruck ja nur null setzen und Alpha berechnen oder?
13.11.2017, 15:54	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
In der dritten Zeile ist ein Vorzeichenfehler und mehrere Tippfehler (es sind $\begin{eqnarray} 100\alpha^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -8\alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} +4\alpha^2 \end{eqnarray}$ ). Und nein. Das setzt du nicht 0. Schaue mal nach was du lösen musst.
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13.11.2017, 16:09	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh Dankeschön für den Hinweis. Der Ausdruck zum Quadrat ist ja 25 also ist das die Quadratische Gleichung.
13.11.2017, 16:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Die Zahlen sehen nicht besonders nett aus, aber zum Glück ist das Lösen quadratischer Gleichungen an sich recht leicht.
13.11.2017, 16:35	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie scheine ich beim lösen der Gleichung einen Fehler zu machen.. Im Grunde versuche ich ja das $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ zu errechnen um dann den Punkt z zu erhalten oder? nur wenn ich das ganze mit der PQ-Formel lösen würde was in dem Fall die einfachste Lösung wäre, habe ich ja erstens 2 Werte und zweitens sind die bei 0.14... und -0,06... und das würde nicht sonderlich viel sinn machen Oder habe ich schon wieder irgendwas nicht beachtet?
13.11.2017, 16:44	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Was die exakten Zahlenwerte sind, kann ich nicht sagen. Aber offenbar liegen die nahe an der 0. Und in den meisten Fällen wird es 2 oder 0 Lösungen geben. In Extremfällen genau eine. Mal dir mal eine beliebige Gerade und nimm dir einen Punkt s außerhalb der Gerade. Und mal ein paar Kreise um diesen Punkt. Die großen werden die Gerade 2 mal schneiden, und diese zwei Punkte liegen a) auf der Gerade und b) haben den gleichen Abstand zu s.
13.11.2017, 16:58	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Also bedeutet das, dass einer der beiden Punkte das $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist um den Punkt zu ermitteln? Ich bin nur etwas verwirrt, weil irgendwie haut das alles nicht vom Ergebnis hin... der relevante Punkt liegt bei 0,14... wenn ich das in die Geradengleichung einsetze erhalte ich z=(3,43..../1.28....). Wenn ich das zur Probe in die Betragsformel für 5 einsetze bekomme ich keine 5 raus
13.11.2017, 17:06	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Gleichung mal in Wolfram Alpha eingegeben Link und bekomme $\begin{eqnarray} \alpha \approx -0.4125 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha \approx 0.4895 \end{eqnarray}$ raus.
13.11.2017, 17:12	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay.. dann schaue ich mal wo ich den Fehler gemacht habe...
13.11.2017, 23:11	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay habe jetzt das richtige Ergebnis. Vielen Dank für deine Hilfe

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