Wie finde ich das Einselement im Ring?

13.11.2017, 17:41	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie finde ich das Einselement im Ring? Meine Frage: R ist ein beliebiger Ring. Die Verknüpfung $\begin{eqnarray} : \mathbb{Z} \times R -> R \end{eqnarray}$ ist definiert durch: $\begin{eqnarray} n * x := \begin{cases}x+...+x \begin{cases}(n-mal)\end{cases}, falls: n > 0\\0, falls: n = 0\\(-x)+...+(-x) \begin{cases}(\|n\|-mal)\end{cases}, falls: n < 0\end{cases} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \times R \end{eqnarray}$ mit den Verknüpfungen $\begin{eqnarray} (x,n)+(y,m) := (x+y,n+m) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x,n)\cdot (y,m) := (x\cdot y + ny + mx, n\cdot m) \end{eqnarray}$ ein Ring mit Eins ist. Meine Ideen:* Ich habe bereits bewiesen, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \times R \end{eqnarray}$ mit "+" eine abelsche Gruppe bildet, die Multiplikation assoziativ ist und die Distributivgesette gelten. Das einzige Kriterium das fehlt, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \times R \end{eqnarray}$ ein Ring mit Eins ist, ist dass es ein Einselement (z,c) in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \times R \end{eqnarray}$ gibt. Da $\begin{eqnarray} (x,a) \cdot (z,c) = (x,a) \end{eqnarray}$ sein muss, muss c=1 sein, da nur $\begin{eqnarray} a \cdot 1=a \end{eqnarray}$ ist in den ganzen Zahlen. Aber bei z tue ich mich schwer, weil das kann ja nicht das Einselement z aus R sein, weil dann hätte ich ja bei $\begin{eqnarray} (x,a) \cdot (z,1)= (x \cdot z + az + x1, a \cdot 1) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} x \cdot z=x \end{eqnarray}$ ist, also müsste ja $\begin{eqnarray} az + x1 = 0 \end{eqnarray}$ sein, was ja aber nur der Fall wäre, wenn a=-1x wäre. a ist ja aber eine beliebige ganze Zahl. Egal was ich mir als Einselement überlege, es bleibt immer was übrig. Könnte mir jemand einen Tipp geben?
13.11.2017, 18:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Offensichtlich ist das Einselement (0,1)
13.11.2017, 20:08	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie konnte ich darauf nur nicht kommen... Ich hatte die ganze Zeit im Kopf, dass das Einselement ungleich dem neutralen Element der Addition sein muss. Dass das Einselement aber nicht 0 sondern eben (0,1) ist und somit ungleich dem neutralen Element der Addition (0,0) habe ich nicht bedacht... Elvis du bist wie immer eine unglaubliche Hilfe. Nur noch ganz kurz zum Verständnis: Die 0 ist das neutrale Element von R, also "nicht die Zahl 0" weil ich ja garnicht weis, was in meinem Ring R ist. Aber die 1 ist die ganze Zahl Eins, oder?
14.11.2017, 08:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.

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