Teilring-Kriterium beweisen?

13.11.2017, 21:13	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilring-Kriterium beweisen? Meine Frage: Hallo, in der Vorlesung wurde uns das Teilringkriterium, nunja, diktiert: Eine nichtleere Teilmenge $\begin{eqnarray} S\subset R \end{eqnarray}$ ist ein Teilring des Ringes (R,+,), wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt: (a) Für alle $\begin{eqnarray} x,y \in S \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} x+y\in S \end{eqnarray}$ (b) Für alle $\begin{eqnarray} x \in S \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} -x \in S \end{eqnarray}$ (c) Für alle $\begin{eqnarray} x,y \in S \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} x * y \in S \end{eqnarray}$ Falls R ein Ring mit Einselement $\begin{eqnarray} 1 \in R \end{eqnarray}$ ist, so muss zusätzlich $\begin{eqnarray} 1 \in S \end{eqnarray}$ erfüllt sein. Den Beweis dafür haben wir nicht bekommen, deswegen habe ich mich mal selbst versucht, scheitere aber an einem Punkt. Meine Ideen:* 1. (S,+) ist ein Ring, wenn S eine abelsche Gruppe ist. Da R ein Ring ist, ist (R,+) eine abelsche Gruppe. (S,+) ist abelsche Gruppe, wenn (S,+) Untergruppe von (R,+) ist. Untergruppenkriterium: (S,+) ist eine Untergruppe, wenn sie nichtleer ist (das ist in der Definition von S erfüllt) und folgende Bedingungen erfüllt: a)Für alle $\begin{eqnarray} x,y \in S \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} x+y \in S \end{eqnarray}$ (Das ist auch die obige Bedingung a) b)Für alle $\begin{eqnarray} x \in S \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} x^{-1} \in S \end{eqnarray}$ . Da das additiv inverse Element auch als $\begin{eqnarray} -x \end{eqnarray}$ bezeichnet wird, ist diese Bedingung äquivalent zu: Für alle $\begin{eqnarray} x \in S \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} -x \in S \end{eqnarray}$ . (Das ist die obige Bedingung b) In der Vorlesung haben wir definiert, dass wenn ein Ring R ein Einselement besitzt, muss der Teilring S dieses auch besitzen. Da das Einselement eindeutig ist, muss das Einselement in S das selbe Einselement wie in R sein. (Was der 4. Bedingung entspricht) Die einzige Bedingung auf die ich nicht gleich komme, ist: (c) Für alle $\begin{eqnarray} x,y \in S \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} x y \in S \end{eqnarray}$ . Dass S multiplikativ abgeschlossen sein muss, ist mir klar, aber das könnte ich dann ja auch schon bei a) sagen. Wenn man z.B. eine Aufgabe "Zeigen Sie, dass eine nichtleere Teilmenge $\begin{eqnarray} S\subset R \end{eqnarray}$ ein Teilring des Ringes (R,+,) ist, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind: (Obige Eigenschaften) Würde ja als Beweis "S muss additiv und multiplikativ abgeschlossen sein und das additiv inverse Element, sowie das Einselement enthalten." auch nicht genügen. Hat jemand vielleicht einen - für mich hoffentlich verständlichen - Ursprung der Bedingung c)? Bei Google finde ich nur Beispiele, aber keine Beweise für das Teilringkriterium.
14.11.2017, 11:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
S muss multiplikativ abgeschlossen sein, sonst ist keine Multiplikation auf S definiert. Eine Menge ohne Multiplikation ist kein Ring.
14.11.2017, 17:46	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist das die Bedingung c), weil das einfach die letzte Bedingung ist, die noch fehlt, dass R ein Ring ist? Wenn ich das so frame, ist das eigentlich klar, weil der Unterschied zwischen einer abelschen Gruppe und einem Ring ist ja einfach nur, dass die Multiplikation dazu kommt. Also ist es klar, dass wenn etwas eine abelsche Gruppe ist, eben noch zusätzlich die Bedingung c) erfüllen muss, um ein Ring zu sein. Fast schon peinlich, solche Fragen zu stellen.
14.11.2017, 18:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist schon in Ordnung .... "manchmal muss man fragen, ..." : https://www.youtube.com/watch?v=tHT2Ve6GEv8

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