Aufgaben zu Gruppenoperationen/ Homomorphismen (leider englisch)

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Zweimalzwei Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgaben zu Gruppenoperationen/ Homomorphismen (leider englisch)
Meine Frage:
Hallo,
Ich bin gerade im Auslandssemester, musste hier das Fach Algebra belegen (als informatikstudentin) und bin leider mit den Übungen zu homomorphismen/ Automorphismen usw. völlig überfordertunglücklich ich habe ein Foto von zwei Aufgaben die ich nicht kann angefügt, wenn jemand sowas schon mal gesehen hat oder Ideen dazu aufbringen kann wäre ich echt überglücklich.. Ich muss das Fach leider bestehen, auch wenn es nicht zu meinem Studium zuhause gehört, die Grundlagen hab ich mir aus paar Büchern angelesen aber selber irgendwas beweisen fällt mir unglaublich schwerunglücklich

Danke im Voraus!


Meine Ideen:
ich habe ein Foto meiner Notizen von Aufgabe 2 als Anhang angefügt.

Aufgabe 3: naja ich hab die Definitionen für automorphismus usw gelesen, ich weiß was ich für eine (normale) untergruppe zeigen muss, aber wie ich mit diesen Informationen jetzt arbeiten soll und wie ich überhaupt anfange weiß ich leider nicht.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst zu Aufg. 2:

Es ist ein Homomorphismus. Hierbei ist irgendeine Gruppe mit einer Verknüpfung. Zur Klarheit bezeichne ich die mal temporär als . In der Aufgabe ist die Notation etwas unglücklich gewählt, denn die Verknüpfung von mit in wird als geschrieben, was man meistens macht, wenn die Verknüpfung mit bezeichnet wird (analog zur "herkömmlichen" Multiplikation auf den reellen Zahlen, wo man ja auch abkürzt). Allerdings ist hier mit schon die Gruppenwirkung bezeichnet.

Die Gruppe ist jedenfalls die Gruppe der bijektiven Selbstabbildungen von . Warum ist dies eine Gruppe? Um sich das klarzumachen, sollte man sich überlegen: Welche Verknüpfung ist gegeben? Was ist demnach das neutrale Element für ? Wieso existieren die Inversen?

Wie sieht damit die Homomorphismus-Bedingung für mit den entsprechenden Verknüpfungen ausgeschrieben aus?

Zu Eigenschaft 1): Es soll gelten . Nach Definition ist . Nach Voraussetzung ist ein Homomorphismus. Was ist also ?

Zu Eigenschaft 2): Es soll gelten . Nach Definition ist . Wie sollte es nun hier weitergehen?

Aufgabe 3:
Zu (i): Ein Automorphismus einer Gruppe ist eine bijektive Selbstabbildung, die auch ein Homomomorphismus ist. Darum gilt . Du weißt, dass eine Gruppe ist. Zu zeigen ist, dass Untergruppe von ist. Wie zeigt man das (Untergruppenkriterium)?

Zu (ii): Aus (i) wissen wir, dass eine Gruppe ist. Nun soll gezeigt werden, dass die Teilmenge der inneren Automorphismen eine Gruppe ist, die insbesondere normal ist. Welches Kriterium zur Überprüfung der Normalität bietet sich hier an?
 
 
ZweimalZwei Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zweiundvierzig,

erstman danke fuer deine antwort!

Zu Aufgabe 2:
Ich weiss nicht ob du dir meine Notizen durchgelesen hattest, aber da steht eigentlich fast das gleiche wie du geschrieben hast, und die Fragen die du mir stellst, die hab ich teilweise an euch gestellt, weil ich nicht weiss was die Loesung ist, mir fehlen dazu die kompletten Grundlagen.

Du fragst (Was ist also Æ(e) ? ) Und genau das war ja eine meiner Fragen, ich weiss dass es das neutral Element von Sym (©) ist, aber WAS ich mir darunter vorstellen soll und wie ich das aufschreibe weiss ich nicht.

Genauso hier:
Æ(gh)(É) = Æ(g) Æ(h) (É) weil es ja ein Homomorphismus ist, und vermutlich kann ich es jetzt weiterfuehren zu Æ(g) Æ(h) (É) = Æ(g) (Æ(h) (É)) = Æ(g) &#8901traurig h⋅É) = g&#8901traurig h⋅É) weil es immer so aussieht, aber kann mir vielleicht jemand sagen WARUM ich diese Gleichzeichen jetzt dahinsetzen darf? Das ist glaub ich grade mein Problem, dass ich diese Erklaerung ueberall suche aber nicht finden kann:/

Zu Aufgabe 3:
(i) Naja fuer eine Untergruppe muss ich zeigen dass Wohldefiniertheit gilt, das neutrale Element in der Untergruppe liegt, Die Verknuepfung zweier Elemente der Untergruppe immer noch in der Untergruppe ist und die Inverse fuer jedes Element ebenfalls drin liegt. Aber ich scheitere schon an der Wohldefiniertheit, vom Rest ganz zu schweigen. Wie fang ich denn da ueberhaupt an?

(ii) Zu "normal" weiss ich nur: Eine Untergruppe N von G ist normal, wenn gN =Ng fuer alle g aus G gilt.
Zweimalzwei Auf diesen Beitrag antworten »

Oje was ist jetzt wieder passiert unglücklich

Der mittlere Teil soll heissen:

Du fragst (Was ist also phi(e) ? ) Und genau das war ja eine meiner Fragen, ich weiss dass es das neutral Element von Sym (Omega) ist, aber WAS ich mir darunter vorstellen soll und wie ich das aufschreibe weiss ich nicht.

Genauso hier:
phi(gh)(omega) = phi(g) phi(h) (omega) weil es ja ein Homomorphismus ist, und vermutlich kann ich es jetzt weiterfuehren zu phi(g) phi(h) (omega) = phi(g) (phi(h) (omega)) = phi(g) (h * omega) = g * (h * omega) weil es immer so aussieht, aber kann mir vielleicht jemand sagen WARUM ich diese Gleichzeichen jetzt dahinsetzen darf? Das ist glaub ich grade mein Problem, dass ich diese Erklaerung ueberall suche aber nicht finden kann:/
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ZweimalZwei
Ich weiss nicht ob du dir meine Notizen durchgelesen hattest, aber da steht eigentlich fast das gleiche wie du geschrieben hast, und die Fragen die du mir stellst, die hab ich teilweise an euch gestellt, weil ich nicht weiss was die Loesung ist, mir fehlen dazu die kompletten Grundlagen.


Beantworte doch mal nacheinander die von mir gestellten Fragen:
Zitat:
Original von zweiundvierzig
Die Gruppe ist jedenfalls die Gruppe der bijektiven Selbstabbildungen von . Warum ist dies eine Gruppe? Um sich das klarzumachen, sollte man sich überlegen: Welche Verknüpfung ist gegeben? Was ist demnach das neutrale Element für ? Wieso existieren die Inversen?

Die Beantwortung der ersten hervorgehobenen Frage wird nach kurzer Überlegung auf die Beantwortung der folgenden beiden führen. Also: bezüglich welcher Verknüpfung bildet die symmetrische Gruppe (eine Menge bestimmter Abbildungen) eine Gruppe?
Zweimalzwei Auf diesen Beitrag antworten »

Ok stimmt ich weiß nicht mal was die Verknüpfung ist. Müsste die hintereinanderausführung von Funktionen sein oder? Dann wäre das neutrale Element die identische Abbildung und das inverse Element die umkehrabbildung?
Und dann ist phi(e) die identische Abbildung.. und die mal Omega ergibt dann natürlich wieder Omega das macht Sinn! Und deshalb sind auch die Gleichzeichen im zweiten Teil erlaubt, weil es eben hintereinanderausführungen von Abbildungen sind, stimmt das?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Zweimalzwei
Ok stimmt ich weiß nicht mal was die Verknüpfung ist. Müsste die hintereinanderausführung von Funktionen sein oder? Dann wäre das neutrale Element die identische Abbildung und das inverse Element die umkehrabbildung?

Ja. Freude

Zitat:
Original von Zweimalzwei
Und dann ist phi(e) die identische Abbildung.. und die mal Omega ergibt dann natürlich wieder Omega das macht Sinn!

Lieber "angewendet auf" statt "mal", aber ja.

Zitat:
Original von Zweimalzwei
Und deshalb sind auch die Gleichzeichen im zweiten Teil erlaubt, weil es eben hintereinanderausführungen von Abbildungen sind, stimmt das?

Genau.
ZweimalZwei Auf diesen Beitrag antworten »

Danke nochmal für die Aufgabe 2, die ist jetzt fertig. Aber dafür saß ich jetzt 2 Tage überfordert vor Aufgabe 3 und krieg da wieder gar nichts mehr hin :/ kannst du mir da vielleicht noch etwas helfen?

1. Das neutrale Element von Sym(G) ist die identische Abbildung, jetzt soll ich zeigen dass die auch in Aut(G) liegt, es macht ja auch Sinn dass die drin liegt, aber ich hab keine Idee wie ich das mathematisch aufschreibe?
Oder noch schlimmer, als 2. zeig ich ja dass die Verknüpfung zweier Elemente aus Aut(G) wieder in Aut(G) liegt, da kann ich gar nichts damit anfangen, von der inversen ganz zu schweigen.. unglücklich
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Endomorphismus ist ein Homomorphismus einer Gruppe auf sich selbst, d.h. ein Homomorphismus G -> H mit H = G. Somit sind Automorphismen per Definition bijektive Endomorphismen.

Zu zeigen ist:
  1. Die Identität id_G ist ein Homomorphismus
  2. Die Verknüpfung zweier bijektiver Endomorphismen ist wieder ein bijektiver Endomorphismus
  3. Die Inverse eines bijektiven Endomorphismus ist wieder ein bijektiver Endomorphismus
Zweimalzwei Auf diesen Beitrag antworten »

Oje das klingt jetzt auch nicht einfacher.. unser Professor will dass wir es mit dem beweisen was wir bisher gelernt haben, das wären z.b. homomorphismen und isomorphismen, von endomorphismen hab ich noch nie gehört.. ach man ich muss das morgen vor dem ganzen Kurs vorrechnen, aber ich glaub das ist unmöglich das ich es bis morgen noch verstehe, aber danke dass du dir so Mühe gegeben hast!
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Das hier nachzurechnen sollte erstmal nicht so schwer sein:
Zitat:
Original von zweiundvierzig
Die Identität id_G ist ein Homomorphismus

Wenn du das gezeigt hast, folgt insbesondere, dass die Identität ein Automorphismus ist (aka bijektiver Homomorphismus G -> G).


Endomorphismen sind nichts gravierend neues, wenn man Homomorphismen schon kennt:
Zitat:
Original von zweiundvierzig
Ein Endomorphismus ist ein Homomorphismus einer Gruppe auf sich selbst, d.h. ein Homomorphismus G -> H mit H = G.


Es geht hier um die Abgeschlossenheit von Aut(G) bezüglich der Gruppenstruktur von Sym(G). Die Verknüpfung auf Sym(G) ist die Abbildungskomposition, wie bereits festgestellt. Die Elemente von Sym(G) sind alle bijektiven Abbildungen G -> G. Die Elemente von Aut(G) sind alle bijektiven Selbstabbildungen G -> G, die zusätzlich Homomorphismen sind.

Setze so an:
Seien f,g: G -> G bijektive Homomorphismen. Warum ist f ° g: G -> G erstens wieder bijektiv und zweitens wieder ein Homomorphismus?

Sei f : G -> G ein bijektiver Homomorphismus. Wie könnte man wohl das dazu inverse Element bezüglich der Verknüpfung auf Aut(G) (aka Abbildungskomposition) bekommen? Warum ist dieses Inverse f^{-1}: G -> G erstens wieder bijektiv und zweitens wieder ein Homomorphismus?
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