Eigenschaft einer Matrix P = I-vv*

14.11.2017, 13:09	TwoStone	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaft einer Matrix P = I-vv* Hallo Mathematiker, Gegeben ist eine Matrix P und ein Vektor v mit Eukl.Norm(v) = 1. dieser Stern * soll komplex konjugiert bedeuten, I die Einheitsmatrix sein. Es ist P = I - vv* Also offenbar Hermitesch, aber nicht unitär. Ich habe gezeigt dass Pv = 0, also v aus Kern(P) ist, denn: Pv = v - vvv = v - v = 0 (weil die Norm vv = 1) Nun soll ich zeigen, dass für alle w aus Bild(P) gilt, dass <w,v>=0 Ich tue mich damit irgendwie schwer. Ich dachte erst ist mache es so: <w,v> = <P*Pw,v>, aber P ist ja nicht unitär, also stimmt das nicht. Kann mir jemand weiterhelfen oder einen Tipp geben, ich stehe auf dem Schlauch ... ?
14.11.2017, 22:13	g4lois	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Meine Idee: Es gilt $\begin{eqnarray} Px = x - vv^Hx = x - \langle v,x \rangle v \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{C}^n \end{eqnarray}$ . Betrachte nun $\begin{eqnarray} \langle w,v \rangle = \langle Px,v \rangle \end{eqnarray}$ und nutze die Eigenschaften des Skalarprodukt aus.

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