Von Ableitung zur Stammfunktion; Stimmt das so?

14.11.2017, 16:09

Jennifer256

Von Ableitung zur Stammfunktion; Stimmt das so?

Meine Frage:
Habe 3 Bilder eingefügt. Dort wo f'(x) steht ist die Originalgrafik. Zu der Ableitung soll ich die Stammfunktion einzeichnen. Die habe ich gezeichnet nur sind die Hoch & Tiefpunkte bei mir gleich & in der Lösung nicht.
Meine Frage: Ist es bei der Zeichnung egal wie hoch die Extremwerte sind? Ich weiß nämlich nicht wie man von der ersten Ableitung die Hoch und Tiefpunkte für die Stammfunktion bekommt :/

Meine Ideen:
Bild

14.11.2017, 17:12

HAL 9000

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Ein paar Grundüberlegungen:

1) Nullstellen von $\begin{align*} f'(x) \end{align*}$ sind Extremalstellen von $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ , in deinem Fall bei ungefähr -12, 3 und 12.

2) Jetzt schau dir die Intervalle zwischen den Nullstellen an:

$\begin{align*} (-12,3) \end{align*}$ : Hier ist $\begin{align*} f'(x)<0 \end{align*}$ , das bedeutet, dass $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ dort monoton fallend ist. Und zwar am steilsten dort, wo $\begin{align*} f'(x) \end{align*}$ ein Minimum hat, also ca. bei $\begin{align*} x=-6 \end{align*}$ . Das ist dann auch zugleich ein Wendepunkt der Originalfunktion $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ .

$\begin{align*} (3,12) \end{align*}$ : Hier ist $\begin{align*} f'(x)>0 \end{align*}$ , das bedeutet, dass $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ dort monoton wachsend ist. Am steilsten dort, wo $\begin{align*} f'(x) \end{align*}$ ein Maximum hat, also ca. bei $\begin{align*} x=8 \end{align*}$ . Das ist dann ein weiterer Wendepunkt von $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ .

Die Monotonie bzw. auch die Steilheit der Funktion in den Randbereichen vor -12 bzw. nach 12 kannst du dir nun selbst überlegen.

Zitat:

Original von Jennifer256
Ist es bei der Zeichnung egal wie hoch die Extremwerte sind?

Egal ist es nicht. Ohne konkrete Rechnung wird es allerdings schwer. Wenn wir aber mal den Abstand der Funktionswerte
vom lokalen Maximum bei -12 bis zum lokalen Minimum bei 3 abschätzen wollen, so können wir dies anhand von

$\begin{align*} f(3)-f(-12) = \int\limits_{-12}^3 f'(x) ~ \dd x \end{align*}$

tun. Das rechts ist die vorzeichenbehaftete Fläche unter der $\begin{align*} f'(x) \end{align*}$ -Kurve von -12 bis 3. Mit "Kästchenzählen" ergibt das ungefähr 23 Kästchen (zu je 2x2), also Integralwert ca. $\begin{align*} -92 \approx f(3)-f(-12) \end{align*}$ .

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