Gruppe mit 4 Elementen

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NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe mit 4 Elementen
Hallo, ich überlege schon lange an folgender Aufgabe und sehe nicht was ich machen soll
Man zeige: jede Gruppe G mit 4 Elementen ist kommutativ. • Tipp: die 5 Elemente 1,a,b,ab,ba von G können nicht alle verschieden sein.
1 ist ja mein neutrales Element.
Dann gilt a*b=1
D.h dass b das inverse zu a. Dann gilt auch b*a=1.
Aber wie nutze ich den Tipp?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du dich verrechnet. Wenn 1=ab=ba gilt, hast du nur noch 3 Elemente übrig. Das ist eins zu wenig.
NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie würdest du es machen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Falsch wäre auch ab=a, denn dann wäre b=1. Somit bleibt noch genau eine Möglichkeit übrig.
Natürliche Zahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Falsch wäre auch ab=a, denn dann wäre b=1. Somit bleibt noch genau eine Möglichkeit übrig.


Warum falsch. Warum kann b nicht 1 sein?

Ich verstehe nicht ganz den Sinn der Aufgabe bis jetzt verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1=b,ab=a,ba sind auch nur 3 Elemente. Die Gruppe soll 4 Elemente haben.

Sinn: wenn man alle falschen Möglichkeiten ausschließt, bleibt die richtige Möglichkeit als einzige übrig.

Zitat: "Wenn Du das Unmögliche ausgeschlossen hast, dann ist das, was übrig bleibt, die Wahrheit, wie unwahrscheinlich sie auch ist." oder : "Wenn man das Unmögliche ausgeschlossen hat, muss das, was übrig bleibt, die Wahrheit sein, so unwahrscheinlich sie auch klingen mag." - The Adventure of the Beryl Coronet / Sherlock Holmes
 
 
NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal kurz zu den 3 Elementen. Wenn b=1, dann ist doch ab=a also auch a=a und ba mit b=1, also a
Dann sind es doch nur 2? LOL Hammer
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

2 oder 3 Elemente sind weniger als 4 Elemente. Die Gruppe soll 4 Elemente haben.
NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok gut. Wie komme ich auf den richtigen Fall?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte die Elemente 1,a,b,ab,ba . ab=1, ab=a, ab=b ist unmöglich. Was würde Sherlock Holmes jetzt sagen ?
Natürliche Zahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ab=a und ab=b ausgeschlossen werden kann:

Es gilt ab=1 a, dann gilt ba=1 und b ist das Inverse zu a.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast nicht aufgepasst, ab=1 habe ich schon in meiner ersten Antwort ausgeschlossen. Einmal darfst du noch raten. Augenzwinkern
NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will nicht raten. Ich will es verstehen. Wie kommst du überhaupt auf die möglickeiten. Wie gehst du vor?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Vorgehen: ich lese die Aufgabe und den Tipp dazu und nehme beides ernst. Anscheinend hast du den Tipp nicht gelesen.

In 5 Minuten verrate ich die richtige Lösung - du wirst dich wundern, warum du nicht selbst darauf gekommen bist.

ab=1, ab=a, ab=b geht nicht, also ist ab=ba Big Laugh
NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht darum, dass 1,a,b,ab,ba nicht alle verschieden sein können. D.h 2 oder mehr müssen gleich sein:

1. Fall a=1: Die Gruppe hat 2 Elemente, nämlich a,b
2. Fall b=1: Es gilt daselbe wie in 1.

3. Fall:ab=a . Nach Kürzungsregel folgt b=1,
Also Elemente in Fall3:1,a
4.Fall:
ab=b wie in Fall3
5. Fall:
ab=1 daraus folgt b ist Invers zu a. Daraus folgt auch ba=1. Also 3 elemente.
6. Fall: ab=ba. Daraus folgt a=a und b=b und es gibt die 1. Also 4 Elemente. So?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

6. ab=ba, also ist die Gruppe abelsch, was zu beweisen war.
Gute Nacht
NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich nicht noch sagen, dass es dann 4 Elemente gibt. In den anderen Fällen nämlich nicht?
NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Gute nacht Wink
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Sherlock Holmes (alias Elvis), der Meisterdetektiv, hat noch einmal nachgedacht. Der Fall ist weiterhin rätselhaft und muss vollständig aufgeklärt werden.
Dr. Watson (alias NatürlicheZahl1) wird hiermit beauftragt, die Voraussetzungen exakt aufzuschreiben, die Fallunterscheidung auf Vollständigkeit und Redundanz zu untersuchen und die richtigen Schlüsse zu ziehen.
NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von NatürlicheZahl1
Es geht darum, dass 1,a,b,ab,ba nicht alle verschieden sein können. D.h 2 oder mehr müssen gleich sein:

1. Fall a=1: Die Gruppe hat 2 Elemente, nämlich a,b
2. Fall b=1: Es gilt daselbe wie in 1.

3. Fall:ab=a . Nach Kürzungsregel folgt b=1,
Also Elemente in Fall3:1,a
4.Fall:
ab=b wie in Fall3
5. Fall:
ab=1 daraus folgt b ist Invers zu a. Daraus folgt auch ba=1. Also 3 elemente.
6. Fall: ab=ba. Daraus folgt a=a und b=b und es gibt die 1. Also 4 Elemente. So?

Ist das redundant?
Oder fehlt was?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so wird das leider nichts. Ich bin auf den Tipp hereingefallen, denn ich habe nicht beachtet, dass man für alle Elemente der Gruppe beweisen muss. Das meinte ich damit, dass du die Voraussetzungen exakt aufschreiben musst. Zum Beispiel in der zyklischen Gruppe der Ordnung 4, ist mit auch , trotzdem ist die Gruppe abelsch und hat 4 Elemente, mit erfasst man leider nur 3 davon.
NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
, trotzdem ist die Gruppe abelsch und hat 4 Elemente, mit erfasst man leider nur 3 davon.


Warum erfasst man nur 3. Zählt ab nicht als ein Element oder entsteht das aus a und b und deshalb wird es nicht erfasst?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

, deshalb sind , und das sind nur 3 Elemente. Das spricht aber nicht dagegen, dass die Gruppe eine abelsche Gruppe der Ordnung 4 ist. Wir können den Fall 5 nicht ausschließen, dass es und gibt mit , also können wir so nicht schließen, dass ist.
NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Aha smile
Soll ich fall5 nochmal genau betrachten?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das genügt nicht.
Du solltest bitte für je 2 beliebige Elemente a und b aus einer beliebigen Gruppe der Ordnung 4 in allen 3 Fällen 1.) ab=1 2.) ab=a oder ab=b 3.) ab=ba beweisen, dass a und b kommutieren.
Zusatzüberlegung:
Ist der Beweis auch für Gruppen der Ordnung 1,2,3 gültig ? Wenn ja, warum ?
Ist der Beweis auch für Gruppen höherer Ordnung gültig ? Wenn nein, warum nicht ?
Natürliche Zahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Also 1.)
ab=1:
Dann hat doch jedes a ein Inverses b. 1 wäre das neutrale Element der Verknüpfung von 2 Elementen.
ab=a und ab=b kann dann nicht gelten. Es muss dann auch ba=1 gelten.

2.)

ab=a.

Daraus folgt dass b=1 sein muss. Deshalb muss auch gelten ba=b,

3.)
ab=ba. Daraus folgt doch dass, a und b kommutieren.

Ist der Beweis auch für Gruppen der Ordnung 1,2,3 gültig:

Ja, da bei Ordnung 3 kann es doch nur 1,a,b geben, wobei zu jedem a es ein Inveres b gibt, damit die Gruppeneigenschaften gelten können.

Bei Ordnung 2 ist gibt es a,1
Da 1 das neutrale Element ist, gilt für alle a: a*1=1*a

Bei Ordnung 1 gilt: 1*1=1*1.

Ist der Beweis auch für Gruppen höherer Ordnung gültig ?

Bei Ordnung 5 gibt es 1,a,b, ab,ba.

kann ich es leider nicht begründen? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist noch nicht so richtig überzeugend. Ich versuche mal eine Verbesserung:




In den Fällen 1.),2.),3.) kommutieren beliebige und aus

Das ist in meinen Augen formaler, vollständiger und deutlicher.

Darüber hinaus habe ich sicher schon darauf hingewiesen, dass sicherzustellen ist, dass es sich um eine vollständige Fallunterscheidung handelt. Es gibt bei 5 Elemente 1,a,b,ab,ba die folgende Gesamtheit möglicher Fälle, wenn (mindestens) 2 von 5 Elementen gleich sein müssen, da nur 4 Elemente in der Gruppe liegen:

Die Fallunterscheidung 1.),2.),3.) ist genau dann vollständig, wenn sich jeder der 10 möglichen Fälle auf einen der 3 untersuchten Fälle zurückführen lässt. Wenn nicht, muss man eben noch weitere Fälle untersuchen.

Zusatzüberlegung für alle Gruppen der Ordnung 1 bis 4: Mindestens 2 der 5 Elemente 1,a,b,ab,ba sind gleich, also ist jede Gruppe der Ordnung 1 bis 4 nach dem oben Bewiesenen (bzw. noch zu Beweisenden) kommutativ.

Zusatzüberlegung für Gruppen mit mehr als 4 Elementen: 5 Elemente, egal wie sie gewählt werden, können paarweise verschieden sein. Also funktioniert der Beweis für größere Gruppen nicht mehr.
Natürliche Zahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort smile


Es muss der Fall a=1 untersucht werden:

Es soll gelten ab=b. Daraus folgt: a=1 und aus ba=b folgt ab=ba.

Der Rest lässt sich doch aus den 3 Fällen konstruieren?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

a=b vielleicht noch, ist trivial wegen aa=aa

UND DAMIT SIND WIR DURCH smile
NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Herzlichen Dank für deine Hilfe smile Freude
Einen schönen Abend dir noch Freude
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