Auf Konvergenz untersuchen

14.11.2017, 17:24

xxJan

Auf Konvergenz untersuchen

Hallo,

ich habe eine Aufgabe in der ich zwei Reihen auf Konvergenz untersuchen soll.
a)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2^{n}*n^{n}}{(n!)^{2}} \right) \end{eqnarray*}$

die Konvergenz wollte ich mithilfe des Quotientenkriteriums untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{2^{n}*n^{n}}{(n!)^{2}} \right)\\=&&\left(\frac{2^{n+1}*(n+1)^{n+1}}{((n+1)!)^{2}} \right)*\left(\frac{(n!)^{2}}{2^{n}*n^{n}} \right)\\=&&\frac{2^{n}*2*(n+1)^{n}*(n+1)*n!^{2}}{(n+1!)^{2}*n^{n}*2^{n}}\\=&&\frac{2*(n+1)^{n}*(n+1)*n!^{2}}{(n+1!)^{2}*n^{n}}\\=&&\frac{2*(n+1)^{n}*(n!)^{2}*(n+1)}{(n+1)*(n+1)*n^{n}}\\=&&\frac{2*(n+1)^{n}*(n!)^{2}}{(n+1)*n^{n}} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich leider nicht mehr weiter, bzw. weiß ich auch gar nicht ob das bis zu diesem Punkt überhaupt richtig ist verwirrt

b) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{k!}{k^{k}} \end{eqnarray*}$

Bei der habe ich jedoch überhaupt keine Ahnung wie ich da an die Sache rangehen soll.

14.11.2017, 17:30

HAL 9000

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Riesiger Bockmist von Zeile 1 zu Zeile 2: $\begin{align*} ((n+1)!)^2 \end{align*}$ ist NICHT dasselbe wie $\begin{align*} (n+1!)^2 \end{align*}$ . geschockt

Tatsächlich ist $\begin{align*} (n+1)! = (n+1)\cdot n! \end{align*}$ und dementsprechend $\begin{align*} ((n+1)!)^2 = (n+1)^2\cdot (n!)^2 \end{align*}$ . Setz das in der ersten Zeile ein, und du kannst dich durch Kürzen sofort der lästigen Fakultäten entledigen.

14.11.2017, 18:53

xxJan

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Upsi habe da wohl die Klammer vergessen Ups

14.11.2017, 19:10

xxJan

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Nach dem Einsetzen und kürzen und klammerauflösen habe ich jetzt diesen Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} \frac{2*(n+1)^{n}*(n+1)}{n^{2}-2n+1*n^{n}} \end{eqnarray*}$

aber ich wüsste jetzt nicht was ich daran weiter kürzen könnte...

14.11.2017, 19:31

HAL 9000

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$\begin{align*} n^2-2n+1*n^n \end{align*}$ im Nenner??? Abgesehen von den vergessenen Klammern ist mir auch das "-" suspekt. unglücklich

14.11.2017, 19:57

xxJan

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Sorry...

$\begin{eqnarray*} \frac{2*(n+1)^{n}*(n+1)}{(n^{2}+2n+1)*n^{n}} \end{eqnarray*}$

Oder meintest du das der ganze Nenner auf gut deutsch Bullshit ist?

14.11.2017, 20:23

HAL 9000

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Nein, ist schon richtig. Das Ausmultiplizieren $\begin{align*} (n+1)^2=n^2+2n+1 \end{align*}$ ist allerdings kontraproduktiv, was das Kürzen betrifft. Letztendlich ist

$\begin{align*} \frac{2(n+1)^n\cdot (n+1)}{(n+1)^2\cdot n^n} = \frac{2(n+1)^n}{(n+1)\cdot n^n} = \frac{2}{n+1}\cdot \left( \frac{n+1}{n}\right)^n = \frac{2}{n+1}\cdot \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n \end{align*}$ .

Und jetzt sollte man was sehen.

14.11.2017, 20:34

xxJan

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Bei dem Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{n+1}*(1+\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ ist die rechte seite die Eulersche Zahl damit wäre die Reihe Konvergent oder nicht?

14.11.2017, 20:42

HAL 9000

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$\begin{align*} \left( 1+\frac{1}{n}\right)^{{\color{red}n}} \end{align*}$ ist nicht die Eulersche Zahl $\begin{align*} e \end{align*}$ , sondern konvergiert allenfalls gegen diese.

14.11.2017, 20:57

xxJan

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Okay vielen Dank Freude

Kannst du dir bitte diese Rechnung zu Aufgabe b auch anschauen? Ich vermute mal das ich irgendwo einen Fehler gemacht habe weshalb ich hänge...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^{k}}\\&&\frac{(k+1)!*\frac{1}{(k+1)^{k+1}}}{k!*\frac{1}{k^{k}}}\\=&&\frac{(k+1)!*k^{k}}{k!*(k+1)^{k+1}}\\=&&\frac{(k+1)*k!*k^{k}}{k!*(k+1)^{k}*(k+1)}\\=&&\frac{(k+1)*k^{k}}{(k+1)^{k}*(k+1)}\\=&&\frac{k^{k}}{(k+1)^{k}}\\=&&(\frac{k}{k+1})^{k} \end{eqnarray*}$

14.11.2017, 21:21

HAL 9000

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Naja, und jetzt kannst du doch wieder dieselbe "e-Folge" sehen - Augen aufmachen!

14.11.2017, 21:37

xxJan

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Ja das schon aber was ich meinte war ist die nicht verdreht?

also wenn zähler und nenner vertauscht wären dann hätte ich doch erst die e-Folge oder irre ich mich da?

14.11.2017, 21:38

HAL 9000

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Naja, dann mach doch was draus!

14.11.2017, 22:06

xxJan

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RE: Auf Konvergenz untersuchen
So oder?

$\begin{eqnarray*} =&&(\frac{k+1-1}{k+1})^{k}\\=&&(\frac{k+1}{k+1}-\frac{1}{k+1})^{k}\\=&&(1-\frac{1}{k+1})^{k}\\=&&(1-\frac{1}{k+1})^{k+1}*(\frac{1}{(1-\frac{1}{k+1}}) \end{eqnarray*}$

Und das ist wieder die Annäherung an die Eulerzahl sodass die Reihe Konvergent ist?!

15.11.2017, 07:34

HAL 9000

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Ich hatte wegen

Zitat:

Original von xxJan
also wenn zähler und nenner vertauscht wären dann hätte ich doch erst die e-Folge

eher an

$\begin{align*} \left(\frac{k}{k+1}\right)^k = \frac{1}{\left(\frac{k+1}{k}\right)^k} = \frac{1}{\left(1+\frac{1}{k}\right)^k} \end{align*}$

gedacht. Aber dein Weg geht auch, sofern dir $\begin{align*} \lim_{k\to\infty} \left(1 + \frac{a}{k}\right)^k = e^a \end{align*}$ für alle reellen $\begin{align*} a \end{align*}$ bekannt ist, hier dann für $\begin{align*} a=-1 \end{align*}$ angewandt.

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