Basen VR

14.11.2017, 17:39	Bizepsbenny	Auf diesen Beitrag antworten »
Basen VR Hallo , ich habe eine Verständnisfrage zu der folgenden Proposition: a) Ist $\begin{eqnarray} v_1,... ,v_n \end{eqnarray}$ ein Erzeugendensystem und ist der vektor $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ Element dieser Menge, dann ist diese Menge plus der Vektor $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ ein Erzeugendensystem. b) Gibt es ein Erzeugendensysten $\begin{eqnarray} v_1,... ,v_n \end{eqnarray}$ . Dann gibt es eine Teilmenge von Vektoren $\begin{eqnarray} v_i,...,v_{it} \end{eqnarray}$ , die eine Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ bilden (also linear unabhängig sind). Stimmt meine Übersetzung so? Danke. Gruß BB
14.11.2017, 21:23	g4lois	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! b) ist richtig. Aus einem endlichen Erzeugendensystem kann man sich durch das Entfernen bestimmter Vektoren eine Basis konstruieren. a) ist falsch. Wie kommst du auf "plus der Vektor $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ "? Dieser wird doch explizit aus dem Erzeugendensystem entfernt. Wenn sich ein Vektor $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ eines Erzeugendensystems $\begin{eqnarray} \{v_1, \dots, v_n\} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ als Linearkombination der restlichen Vektoren schreiben lässt (bzw. Element des Erzeugnis $\begin{eqnarray} \langle v_1, v_{i-1}, v_{i+1}, \dots v_n \rangle \end{eqnarray}$ ist), kann dieser Vektor $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ aus dem Erzeugendensystem gestrichen werden, wobei die restlichen Vektoren wiederum ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ bilden.

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