Beschränktheit bestimmen

14.11.2017, 18:29	Fragewurm	Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränktheit bestimmen Hallo, wie bestimmt man, ob die folgenden Teilmengen der reellen Zahlen nach oben/unten beschränkt sind und ob Supremum, Infimum, Maximum und Minimum existieren? $\begin{eqnarray} \left\{ 2^{-n}+ \frac{1}{m}: n, m \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left\{ \frac{1}{n} - \frac{1}{m}: n, m \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray}$ Beide Mengen müssten doch nach unten beschränkt sein, da es natürliche Zahlen sind oder? Jedoch weiß ich nicht, wie ich weiter vorgehen soll, um die anderen Eigenschaften zu überprüfen. Gruß
15.11.2017, 08:53	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränktheit bestimmen Betrachte zunächst die von n bzw. m abhängigen Terme separat. Anschließend kannst du dich um die Summe/Differenz kümmern.
16.11.2017, 16:57	Fragewurm	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich jetzt zuerst $\begin{eqnarray} 2^{-n} = \frac{1}{2^{n} } \end{eqnarray}$ betrachte. Wie zeige ich dann, dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ die obere Schranke sein muss? Es muss ja gelten: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \geq \frac{1}{2^{n} } \end{eqnarray}$ gdw $\begin{eqnarray} 2^{n} \geq 2 \end{eqnarray}$ . Es gelingt mir jedoch nicht weiter umzuformen, so dass ich $\begin{eqnarray} n \geq 1 \end{eqnarray}$ erhalte. Wie muss ich denn weiter machen?
17.11.2017, 08:09	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls ihr so etwas noch beweisen müsst, vielleicht so: Es ist für $\begin{eqnarray} n>1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2^{n-1}>1 \end{eqnarray}$ Deshalb ist für $\begin{eqnarray} n>1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2^n=2\cdot 2^{n-1}>2 \end{eqnarray}$
17.11.2017, 16:52	Dmpartyrock	Auf diesen Beitrag antworten »
Das müsste dir helfen. $\begin{eqnarray} 2^{n} \geq 2 \Rightarrow ln(2^{n}) \geq ln(2) \Rightarrow n\cdot ln(2) \geq ln(2) \Rightarrow n\geq 1 \end{eqnarray}$ Allerdings musst du noch zeigen,dass 1/2 Element der Menge ist.
18.11.2017, 12:55	Fragewurm	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, habe es nun. Danke!
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »