Menge ohne Häufungspunkte

14.11.2017, 20:02

hpmeng

Menge ohne Häufungspunkte

Guten Abend,

ich möchte wissen, ob meine Idee einer Aufgabe richtig ist:

Aufgabe
Sei $\begin{eqnarray*} M \in R \end{eqnarray*}$ eine Menge ohne Häufungspunkte. Zeigen Sie, dass M abzählbar ist. Hinweis: Satz von Bolzano–Weierstraß.

Meine Idee
Sei $\begin{eqnarray*} M \in R \end{eqnarray*}$ eine Menge ohne Häufungspunkte . Der Satz von B-W steht: jede beschränkte, unendliche Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ besitzt mindestens einen Häufungspunkt.

Da M keine Häufungspunkte hat, kann die Menge M nicht beschränkt und unendlich sein. Somit muss M endlich sein. Und alle endliche Mengen sind abzählbar. Somit ist M abzählbar.

14.11.2017, 21:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von hpmeng
Somit muss M endlich sein.

Muss es nicht: Z.B. ist $\begin{align*} M=\mathbb{N} \end{align*}$ eine Menge ohne Häufungspunkte, die nicht endlich ist. Daher muss deine Logik wohl einen Fehler haben. Augenzwinkern

Tipp: Es ist $\begin{align*} \mathbb{R} = \bigcup_{n\in\mathbb{Z}} [n,n+1) \end{align*}$ eine abzählbare Vereinigung von beschränkten Intervallen...

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