Vektorgleichung ohne Komponentendarstellung und Eindeutigkeit

14.11.2017, 21:26

SimonAP

Vektorgleichung ohne Komponentendarstellung und Eindeutigkeit

Meine Frage:
Brauche Hilfe mit einer Aufgabe in theoretischer Physik:

Lösen Sie die Gleichung $\begin{eqnarray*} \vec{x}+\vec{a}=(\vec{x}\cdot\vec{c})\cdot\vec{b} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ auf, ohne eine Komponentendarstellung zu benutzen. Unter welcher Bedingung ist die Lösung eindeutig?

Danke schonmal im Voraus! smile

Meine Ideen:
Ich bleibe jetzt schon beim Umformen stecken, weil ich nicht weiß wie ich das Skalarprodukt handhaben soll, und mir sonst bisher noch kein Ansatz eingefallen ist.
Sonst würde ich überlegen ob es eine geometrische Lösung für die Eindeutigkeit gibt, aber es wird gefordert die Gleichung umzuformen.

15.11.2017, 08:45

Huggy

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RE: Vektorgleichung ohne Komponentendarstellung und Eindeutigkeit
Multipliziere die Gleichung skalar mit $\begin{eqnarray*} \vec c \end{eqnarray*}$ . Danach ist $\begin{eqnarray*} \vec x \cdot \vec c \end{eqnarray*}$ bestimmbar, allerdings nicht immer eindeutig. Hat man $\begin{eqnarray*} \vec x \cdot \vec c \end{eqnarray*}$ , ist aus der ursprünglichen Gleichung $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ bestimmbar.

15.11.2017, 23:21

SimonAP

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Habe jetzt als Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=-\frac{(\vec{x}\cdot\vec{c})}{1-(\vec{b}\cdot\vec{c})}\vec{b}-\vec{a} \end{eqnarray*}$

eindeutig für $\begin{eqnarray*} (\vec{b}\cdot\vec{c})\neq 1 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

16.11.2017, 08:34

Huggy

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Im Zähler des Bruches muss $\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec c \end{eqnarray*}$ stehen, ansonsten richtig..

16.11.2017, 08:51

Leopold

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Zitat:

Original von SimonAP
eindeutig für $\begin{eqnarray*} (\vec{b}\cdot\vec{c})\neq 1 \end{eqnarray*}$

Was bedeutet, daß $\begin{align*} \vec{a} \end{align*}$ und $\begin{align*} \vec{c} \end{align*}$ nicht orthogonal sind. Schau dir in deiner Herleitung die Stelle an, an der du dividierst.

16.11.2017, 08:58

Leopold

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RE: Vektorgleichung ohne Komponentendarstellung und Eindeutigkeit

Zitat:

Original von Huggy
Multipliziere die Gleichung skalar mit $\begin{eqnarray*} \vec c \end{eqnarray*}$ .

Auch wenn der Fragesteller offensichtlich verstanden hat, was du meinst, halte ich die Formulierung doch für mißverständlich. Bei "skalar multiplizieren" denke ich zunächst daran, daß die Gleichung mit einem $\begin{align*} \lambda \in \mathbb{R} \end{align*}$ durchmultipliziert wird. Gemeint ist hier aber die Bildung des Skalarprodukts. Ich mache daher den Vorschlag: Bilde auf beiden Seiten das Skalarprodukt mit $\begin{align*} \vec{c} \end{align*}$ .

16.11.2017, 10:09

SimonAP

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Zitat:

Original von Huggy
Im Zähler des Bruches muss $\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec c \end{eqnarray*}$ stehen, ansonsten richtig..

Ja, habe mich nur vertippt.
Danke für die Hilfe. smile

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