Homöomorphismus finden

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Lana3456789 Auf diesen Beitrag antworten »
Homöomorphismus finden
Ich soll einen Homöomorphismus finden, der von versehen mit der euklidishen Topologie in (-1,1) versehen mit der euklidischen Topologie geht. Also eine stetige, bijektive Funktion, deren Umkehrfuktion stetig ist.

Meine erste Idee war 1/x für alle x außerhalb von (-1,1) zu nehmen und x für alle x aus (-1,1), da wäre die Umkehrabbildung aber nicht stetig. Hat jemand eine Idee, was ich nehmen könnte?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homöomorphismus finden
Deine Abbildung wäre nicht einmal bijektiv. Der Wert wird von und von getroffen. Surjektiv ist die Abbildung auch nicht. Aber sie ist immerhin stetig.

Schaue dir mal den Tangens an.
Lana3456789 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Ich habe es mir angeschaut, komme aber noch immer nicht wirklich weiter. Tangens ist auf unserem Intervall nicht bijektiv, sondern nur auf (-pi/2,pi/2) und arctan bildet auch nur von den reellen Zahlen auf (-pi/2,pi/2) ab. Das wäre für unser Intervall (-1,1) zu groß und wenn wir es irgendwie einschränken würden wäre arctan nicht mehr bijektiv.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du Angst vor Schlangen? Wenn nicht, dann faß die Tangensschlange zwischen und links und rechts mit deinen Händen ein und schiebe sie zusammen, wie man eine Ziehharmonika zusammendrückt, bis sie zwischen -1 und 1 verläuft. Alternativ geht es aber auch so:



Hier der geometrische Hintergrund.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@Lana

Korrekt. Einschränken bei Homöomorphismen ist keine gute Idee. Allerdings verhalten sie sich super beim Verketten: sind und Homöos, so auch .

D.h. wenn du einen Homöo von nach findest, so liefert die Verkettung mit dem Tangens dann einen Homöo von nach .
Lana3456789 Auf diesen Beitrag antworten »

@IfindU : Danke smile
 
 
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