Metrischen Raum beweisen

15.11.2017, 17:51	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
Metrischen Raum beweisen Meine Frage: Ich habe Probleme mit folgender Aufgabe: Betrachten Sie die Abbildung $\begin{eqnarray} d_{Fr}: \mathbb R ^{2} \times \mathbb R ^{2} -> \mathbb R , d_{Fr}(x,y)=\begin{cases} \sqrt{((x_{1} - y_{1})^{2} + ((x_{2} - y_{2})^{2}}=d(x,y) <- Falls x=ky mit k \in \mathbb R \\ \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} + \sqrt{y_{1}^{2} + y_{2}^{2}}=d(0,x) + d(0,y) <- sonst \end{cases} \end{eqnarray}$ wobei d(x,y) die euklidische Metrik bezeichnet. (a) Zeigen Sie, dass es sich bei der Abbildung $\begin{eqnarray} d_{Fr} \end{eqnarray}$ um eine Metrik auf dem $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{2} \end{eqnarray}$ handelt. (b) Skizzieren Sie die Umgebungen $\begin{eqnarray} B_{\frac{3}{4}}((0,0)) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B_{\frac{3}{4}}(( \frac{1}{2},0)) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Bei a) Gabe ich versucht, die Bedingungen für eine Metrik zu überprüfen: 1. $\begin{eqnarray} d_{Fr} \end{eqnarray}$ bildet nach [0, $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ) ab, da die euklidische Metrik dorthin abbildet. 2. "=>": $\begin{eqnarray} 0=d_{Fr}(x,y) \end{eqnarray}$ Fall 1: $\begin{eqnarray} 0=d_{Fr}(x,y)=d(x,y)=0 \Rightarrow x=y \end{eqnarray}$ Fall 2: $\begin{eqnarray} 0=d_{Fr}(x,y)=d(0,x)+d(0,y) \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} d(0,x)=0 \wedge d(0,y)=0 \Rightarrow x=0=y \end{eqnarray}$ "<=": x=y Fall 1: $\begin{eqnarray} d_{Fr}(x,y)=d_{Fr}(x,x)=d(x,x)=0 \end{eqnarray}$ Fall 2 tritt nicht ein, da x=y. 3. Fall 1: $\begin{eqnarray} d_{Fr}(x,y)=d(x,y)=d(y,x)=d_{Fr}(y,x) \end{eqnarray}$ Fall 2: $\begin{eqnarray} d_{Fr}(x,y)=d(0,x)+d(0,y)=d(0,y)+d(0,x)=d_{Fr}(y,x) \end{eqnarray}$ 4. Dreiecksungleichung Fall 1: $\begin{eqnarray} d_{Fr}(x,y)=d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y) \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} z=k_{1}y=k_{2}x \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} d(x,z)+d(z,y)=d_{Fr}(x,z)+d_{Fr}(z,y) \end{eqnarray}$ Aber für $\begin{eqnarray} z\neq k_{1}y=k_{2}x \end{eqnarray}$ Ab hier weis ich nicht, wie ich weiter komme. Fall 2: $\begin{eqnarray} d_{Fr}(x,y)=d(0,x)+d(0,y)\leq d(0,z)+d(z,x)+d(0,z)+d(z,y) \end{eqnarray}$ Auch hier weis ich nicht, wie ich weiterkomme. Bei der (b) komme ich auch nicht drauf, wie ich das Skizzieren kann, weil es sich um den Abstand zweier Tupel handelt und es 2 Fälle gibt. Könnte mir wer weiterhelfen?
16.11.2017, 11:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Dreiecksungleichung muss man vermutlich ausnutzen, dass der Umweg über den Nullpunkt stets größer als der euklidische Abstand ist. Und dann eben bitte eine vollständige Fallunterscheidung machen. Der Ball um den Nullpunkt ist anscheinend der euklidische Ball. Für den Ball um (1/2,0) habe ich schon mal Punkte auf den Achsen gefunden (mit einer kleinen Skizze ist das ja nicht so schwer), und mittels ein paar weiterer Punkte kann man sich da rantasten. Zugegeben, trial & error ist nicht die feinste aller Methoden, aber wenn man kein Einstein ist, bleibt einem manchmal nichts anderes übrig.

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