Grenzwert einer Reihe mit Exponenten: k-1

15.11.2017, 17:52	Jonas___	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Reihe mit Exponenten: k-1 Meine Frage: Hallo liebe Mathespezialisten, ich habe folgendes Problem: Ich möchte den Grenzwert folgender Reihe berechnen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{4^{k-1}}{3^{2k}} \end{eqnarray}$ . Der einzige Weg, den ich kenne, ist die geometrische Summenformel: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} q_{k} = \frac{1-q_{n+1}}{1-q} \end{eqnarray}$ . Das Problem ist nun, dass der Exponent ja k-1 ist. Was kommt nun in den Nenner der geometrischen Summenformel? Ich habe folgendes Probiert, komme jedoch auf ein falsches Ergebnis: Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{4^{k-1}}{3^{2k}} = \frac{1-\frac{4^{(n+1)-1}}{3^{2(n+1)}}}{1-\frac{4^{1-1}}{3^{21}}} = \frac{1-\frac{4^{n}}{3^{2n+2}}}{1-\frac{4^{0}}{3^{2}}} = \frac{1-\frac{^{n}}{3^{n(2+2/n)}}}{1-\frac{1}{3^{2}}} = \frac{1-(\frac{4}{3^{2+2/n}})^{n}}{\frac{8}{9}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{(1-(\frac{4}{3^{2+2/n}})^{n})9}{8} = \frac{(1-(\frac{4}{3^{2+2/\infty}})^{\infty})9}{8} = \frac{(1-(\frac{4}{3^{2+0}})^{\infty})9}{8} = \frac{(1-(\frac{4}{9})^{\infty})9}{8}<br /> = \frac{(1-0)9}{8}<br /> = \frac{9}{8} \end{eqnarray}$ Das richtige Ergebnis müsste jedoch 0,2 sein. Würde mich echt riesig freuen, wenn jmd. eine Idee für den Lösungsweg hat. Mir freundlichen Grüßen Jonas
15.11.2017, 21:55	ML_	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer Reihe mit Exponenten: k-1 Ich habe nur einen Ansatz für Dich. Den Rest bekommst Du sicher selbst hin: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{4^{k-1}}{3^{2k}} = \frac{4^0}{9^1} + \frac{4^1}{9^2} + \frac{4^2}{9^3} + ... + \frac{4^{n-1}}{9^n} = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{4^1}{9^1} + \frac{4^2}{9^2} + \frac{4^3}{9^3} + ... + \frac{4^{n}}{9^n} \right) = \frac{1}{4} \sum\limits_{k=1}^{n} \left(\frac{4}{9}\right)^k \end{eqnarray}$

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