Mächtigkeit bestimmen

15.11.2017, 23:19	50outs	Auf diesen Beitrag antworten »
Mächtigkeit bestimmen Hey Leute Da ich bei folgender Aufgabe einfach nicht durch eigene Überlegungen weiterkomme, hoffe ich, dass ihr mir einen Tipp geben könnt. Möglicherweise stehe ich auch nur auf dem Schlauch. Seit Studienbeginn habe ich den Schlauch überhaupt nicht mehr verlassen So kommt es mir zumindest vor... Also, die Aufgabe lautet: Seien M und N endliche Mengen mit Mächtigkeit #M=m und #N=n. Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass gilt #Abb(M+N)=n^m Bin dankbar für jede Hilfestellung Grüße Chris
16.11.2017, 08:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Abbildung zwischen endlichen Mengen kannst du vollständig durch eine Wertetabelle beschreiben, wie du das aus der Schule kennst. Ein Beispiel demonstriert das: $\begin{align} M = \{ a,b,c \} \, , \ \ N = \{ 1,2,3,4 \} \end{align}$ Hier ist $\begin{align} m = 3 \end{align}$ und $\begin{align} n = 4 \end{align}$ . Eine Abbildung $\begin{align} f \end{align}$ wäre zum Beispiel: $\begin{align} f: \ \begin{matrix} a & b & c \\ 3 & 2 & 2 \end{matrix} \end{align}$ Also $\begin{align} f(a) = 3, \, f(b) = 2, \, f(c) = 2 \end{align}$ . Wie bekommst du nun alle Abbildungen? Nun, die erste Zeile bleibt, während man in der zweiten Zeile alle Möglichkeiten für $\begin{align} 1,2,3,4 \end{align}$ durchspielen muß. Und damit hast du letztlich ein kombinatorisches Problem: Wie viele solche Möglichkeiten gibt es? Das Problem gehört zu den Grundproblemen der Kombinatorik und wird in der Schule oft im Rahmen der Wahrscheinlichkeitsrechnung behandelt. Du kannst es dir spontan an einem Baum vorstellen: Der Baum hat drei Stufen. In der ersten Stufe wird das Bild von $\begin{align} a \end{align}$ gewählt. Dafür gibt es vier Zweige, einen zur 1, einen zur 2, einen zur 3 und einen zur 4. In der zweiten Stufe wird das Bild von $\begin{align} b \end{align}$ gewählt, und man hat wieder jeweils einen Zweig zu 1,2,3,4. Ebenso in der dritten Stufe, in der das Bild von $\begin{align} c \end{align}$ gewählt wird. Jeder Pfad in diesem Baum kann mit einer Abbildung von $\begin{align} M \end{align}$ nach $\begin{align} N \end{align}$ identifiziert werden. Zählst du also die Pfade des Baumes, so zählst du auch die möglichen Abbildungen.
16.11.2017, 21:33	50outs	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort. Ich konnte die Aufgabe leider trotzdem nicht mehr abschließend bearbeiten. Messe dem aber weiter auch nicht allzu großen Wert bei. Ich werde mit Sicherheit noch mehr als genug Gelegenheiten bekommen, um ähnliche Aufgaben zu bearbeiten. Trotzdem Danke für deine Mühe. Liebe Grüße

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