Roulette

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Thomas7 Auf diesen Beitrag antworten »
Roulette
Hallo miteinander

Folgende Aufgabe beschäftigt mich auch noch:
Erscheint beim Roulette die gesetzte Farbe, so erhält man seinen Einsatz verdoppelt ausbezahlt.
Anderenfalls verfällt der Einsatz.
Man setzt den Betrag x (seien es x = EUR 10.-) auf Rot.
Erscheint Rot, ist das Spiel für einen beendet, man hat EUR 10.- gewonnen und
beginnt von Neuem.
Erscheint aber die Null oder Schwarz, verdoppelt man seinen Einsatz und setzt
erneut auf Rot.
Dies wiederholt man solange, bis zum ersten Mal rot erscheint und man damit das
Spiel abbricht und von Neuem beginnt.

--> Wie hoch ist der Erwartungswert für den Gewinn bei diesem Spiel?

Hier habe ich einfach folgendes gemacht:
( 18 / 37) * (10 * 2 + 10) + (19 / 37) * ( -2 * 10 ) = EUR 4.324

Ist das korrekt so?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Thomas7,

leider vermutlich nein; es geht darum, dass das Spiel theoretisch bis ins Unendliche fortgesetzt werden soll. Also die Zufallsvariable X sei die Anzahl der benötigten Versuche bis zum ersten "Treffer" (wie verteilt?). Und g(k) sei der Gewinn, den du machst, wenn du beim k-ten Mal triffst. Dann gilt ja

.

Wenn du dir nun überlegst, wieviel Gewinn du - abzüglich des vorher Verlorenen! - jeweils machst, wenn du beim 1., 2., 3., ... Mal triffst (= Rot bekommst), dann wird die Berechnung des erwarteten Gewinns fast trivial, aller Unendlichkeit zum Trotz.

Mir scheint, dass der erwartete Gewinn hier zwar positiv, aber immer noch kleiner Unendlich ausfällt.
Ich frage mich, ob man die Angaben so modifizieren könnte, dass der erwartete Gewinn Unendlich wird, so wie beim St. Petersburger Spiel.

Bin jetzt weg, gute Nacht
sibelius84
Thomas7 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo sibelius84

Ok, ich versuch's mal konkret für die ersten Male hinzuschreiben:

Gewinnt man bei Versuch Nr.:
1 --> investiert: 10.- || erhält: 20.- --> Gewinn = 10.-
2 --> investiert: 20.- || erhält: 40.- --> Gewinn = 10.-
3 --> investiert: 40.- || erhält: 80.- --> Gewinn = 10.-
4 --> investiert: 80.- || erhält: 160.- --> Gewinn = 10.-
...

Wenn du nun aber sagst, dass der erwartete kleiner als Unendlich ausfällt, frage ich mich: wieso?
Wenn man immer 10.- Gewinn macht? ...oder habe ich da einen Denkfehler drin?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Moin moin,

gestern abend war mir gar nicht aufgefallen, dass wir im Bereich "Schulmathematik" sind. Verstehst du dann, was dieses Summenzeichen mit "Unendlich" oben bedeutet, bzw. kennst du diese Definition des Erwartungswertes? (Man könnte sie, ohne Summenzeichen und ohne Unendlich, auch schreiben als

.

Nun hast du herausgefunden, dass g(1)=g(2)=g(3)=g(4)=10 (und für g(5), g(6), ... wird sich daran wohl auch nicht mehr allzu viel ändern). Was ergibt sich, wenn du das in die obige Formel einsetzt? (Du solltest benutzen, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten immer 100% = 1 beträgt.)
Thomas7 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das Summenzeichen kenne ich Augenzwinkern

Ah, gilt dann nicht :

E = 10 * ( 18 / 37) + 10 * ( 18 / 37)^2 + 10 * ( 18 / 37)^3 + ... ?

Der Bruchterm geht gegen 0 (für n --> unendlich). Aber einen konkreten EW habe ich deshalb ja trotzdem noch nicht, oder?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sibelius84
Also die Zufallsvariable X sei die Anzahl der benötigten Versuche bis zum ersten "Treffer" (wie verteilt?).


1. Um mal meine Frage von oben selber zu beantworten - "Anzahl benötigte Versuche bis zum ersten Treffer" ist genau die Situation für eine geometrische Verteilung. Da sind die Wahrscheinlichkeiten etwas anders gelagert, als du sie zuletzt aufgeschrieben hast. Die 19/37 müssen ja auch noch irgendwo mitspielen. Du könntest eine Formel für die geometrische Verteilung einfach nachschlagen und anwenden.

2. Du musst hier aber eigentlich gar nicht die genaue Wahrscheinlichkeitsverteilung kennen, um die Aufgabe zu lösen. Es reicht, wenn du weißt, dass sich die (endliche oder unendliche) Summe über alle Wahrscheinlichkeiten stets auf 100% = 1 beläuft.
 
 
Thomas7 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, also dann ist der Erwartungswert folgender:

E = 10 * (18 / 37) * (19 / 37)^n

Ist das korrekt so?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Leider nein. Schau dir noch mal meinen Beitrag vom 16.11.2017 11:12 an.
Thomas7 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah nein, der Erwartungswert müsste sein:



Ist das ok so?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Thomas,

leider wieder nein. Entweder schlag' die Formel für die geometrische Verteilung nach und notiere sie korrekt, dann kannst du auch den Grenzwert korrekt berechnen. Oder setze in

g(1)P(X=1)+g(2)P(X=2)+...

einfach nur die Werte g(1), g(2), ... ein, lass' die P's stehen und klammere geeignet aus.

Wenn eine Zufallsvariable ist, weißt du, was dann
ist?

Grüße
sibelius84
Thomas7 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, also ich möchte es eigentlich soweit wie möglich "alleine" schaffen...

Man hat ja dann 10*n * P(X) , wobei P(X) = (18/37)^n.

Aber...dann sind wir noch nicht fertig (laut der theoretischen geometrischen Verteilung). Aber wieso?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Weil die Wahrscheinlichkeit eine andere ist.

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Verteilung
Thomas7 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich den EW = 1 / (18/37)

Ist das wirklich so?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht um den Erwartungswert des Gewinns, nicht um den Erwartungswert des ersten Treffers.
Thomas7 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah was hab ich da für ein Unsinn geschrieben.

Ich machte einen reset und ging die Aufgabe nochmals von Anfang an durch.
Eigentlich ist sie ganz verständlich und logisch:

p(Gewinn) = 18 / 37

p(kein Gewinn) = 19/37

Man spielt so lange (und weiss eben nicht wie lange das geht...) bis man einen Gewinn hat.
D.h. für den EW:



Bitte sag jetzt nicht, dass es nicht stimmt... Big Laugh
Ich bin nämlich eigentlich ziemlich sicher Augenzwinkern

(Also einverstanden, der Schönheit halber könnte man den Faktor 10 noch vor das Summenzeichen schreiben. Augenzwinkern )
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Thomas7
Gewinnt man bei Versuch Nr.:
1 --> investiert: 10.- || erhält: 20.- --> Gewinn = 10.-
2 --> investiert: 20.- || erhält: 40.- --> Gewinn = 10.-
3 --> investiert: 40.- || erhält: 80.- --> Gewinn = 10.-
4 --> investiert: 80.- || erhält: 160.- --> Gewinn = 10.-
...

Wenn du nun aber sagst, dass der erwartete kleiner als Unendlich ausfällt, frage ich mich: wieso?
Wenn man immer 10.- Gewinn macht?

Diese bekannte Roulette-Verdopplungsstrategie funktioniert in der Theorie tatsächlich, d.h. man macht mit jeder solcher Sequenz 10€ Gewinn. Es gibt nur einen entscheidenden Haken:

Man benötigt ein unendlich großes Vermögen bzw. einen Kreditgeber, der einem einen unendlich hohen Kreditrahmen einräumt. Ansonsten ist man nach einer mehr oder weniger langen Gewinnsträhne abrupt pleite.

In "realen" Kasinos wird dem eh ein Riegel vorgeschoben durch einen Maximaleinsatz, aber das wollen wir hier gar nicht mal betrachten.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

nun, bei einfachen Chancen wie Rouge/Noir, Pair/Impair und Manque/Passe wird bei Zero=Grün geht der Einsatz en prison = wird gesperrt und hat noch 50% Wert
Der nächste Wurf entscheidet dann ob der Einsatz wieder freikommt oder endgültig perdü ist. Kommt wieder Zero geht der Einsatz ins double prison.
Der Einsatz hat dann noch 25% Wert.
Das kann man sich jeweils auszahlen lassen.
Beim dritten Zero in Folge ist aber Schluss.

Zusammen mit den maximal 10 Verdopplungen verändert das auch die Gewinnerwartung. Ich behaupte mal:

Die Renten sind nicht so sicher wie der Vorteil der Bank. Augenzwinkern
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

@Thomas: Es stimmt! Freude
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