holomorphe funktionen

02.09.2004, 15:08	flixgott	Auf diesen Beitrag antworten »
holomorphe funktionen hallo, so weit wie ich das begriffen hab, kann man aus der tatsache, dass sich holomorphe funktionen in potenzereihen eintwickeln lassen ja schlußfolgern, dass der satz von taylor im eindimensionalen eins zu eins auf die komplexen funktionen übertragen werden kann. ich will nun diese entwicklung in potenzreihen mit dem satz von taylor und der cauchyschen integralformel (die mir die cauchysche integral formel für ableitungen liefert) beweisen. insofern meine frage: kann ich die übertragung des eindimensionalen taylors in die komplexe funktionentheorie einfach so annehmen (eben ohne die potenzreihen schon bewiesen zu haben), und wenn ja warum, bzw wenn nein, warum nicht. meiner ansicht nach ist der ableitungsbegriff in der funktionentheorie ja wie der im eindimensionalen reellen definiert, was eine übertragung eigentlich möglich machen sollte. danke an allle, die sich gedanken machen ;-)
02.09.2004, 15:42	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich bin der Meinung, dieser Satz ist nicht ohne weiteres vom Reellen ins Komplexe übertragbar. Er gilt ja für ein reelles Intervall, während man im Komplexen auf einem Gebiet "hantiert". Cauchy'sche Integralformel ist schon gut, aber ein viel einfacherer Sachverhalt als Taylor tut es vielleicht auch: Die geometrische Reihe. Gruß MisterSeaman
02.09.2004, 18:38	flixgott	Auf diesen Beitrag antworten »
danke erstmal, aber dass der satz von taylor auch im komplexen so wie im reeslen gilt, sieht man ja einfach, wenn man die potzenreihenentwicklung für ganze funktionen bewiesen hat. (ich habe einen beweis ohne taylor, aber der ist meiner ansicht nach viel zu kompliziert) kannst du mir mal einen anstoß geben wie ich das mit der geometrischen reihe machen soll? einzig gegeben ist ja, dass die funktion holomorph ist (das sie unendlich oft diffbar ist hab ich ja auch nur aus dem cauchyschen integral satz und die ableiteung hab ich mit hilfe der cauchyschen integralformel bestimmt).
02.09.2004, 18:58	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, die Cauchy'sche Integralformel lautet ja $\begin{eqnarray} f(z) = \frac{1}{2\Pi i} \int_{\partial G} {\frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d \zeta} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{2\Pi i} \int_{\partial G} {\frac{f(\zeta)}{\zeta}\frac{1}{1-\frac{z}{\zeta}} d \zeta} \end{eqnarray}$ = ??? Wenn das Gebiet ein Kreis um 0 ist, bekommt man das so schon hin. Wenn nicht, muss man das etwas anders machen. (Stichworte z-z_0, lokale Kreise als Umgebung). Man darf ja bei gleichmäßig konvergenten Reihen wie der geometrischen Reihe Integration und Summenzeichen vertauschen. Wahrscheinlich wird Dein "Beweis ohne Taylor" wohl so ähnlich laufen... Gruß MisterSeaman
03.09.2004, 13:23	flixgott	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, mein beweis geht im wesentlich so, ich berechne die ableitungen nach der CIF und dann muß ich nur noch durch und dsmit steht dann im wesentlich meine a(j) für die potenzreihe da.. aber irgendwie hab ich grad ne blockierung, ich sehe nicht so richtig, wie ich eine geometrische reihe ansetzen soll, ich weiss ja lediglich, dass die funktion holomorph ist und das die CIF gilt.
06.09.2004, 23:24	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(z) = \frac{1}{2\Pi i} \int_{\partial G} {\frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d \zeta} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{2\Pi i} \int_{\partial G} {\frac{f(\zeta)}{\zeta}\frac{1}{1-\frac{z}{\zeta}} d \zeta} = \frac{1}{2\Pi i} \int_{\partial G} {\frac{f(\zeta)}{\zeta}\sum_{i=0}^{\infty} \frac{z^n}{\zeta^n} d \zeta} \end{eqnarray}$ Und genauso (mit geeigneter Formel) für $\begin{eqnarray} z-z_0 \end{eqnarray}$ .
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07.09.2004, 17:12	flixgott	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich habe das problem jetzt gelöst (lösen lassen). der satz von taylor ist ein spezialfall der potenzreihen entwicklung und man kann ihn somit nicht vorraussetzen. das war das, was ich mir auch schon gedacht hab, und heute in einem gespärch mit ana-prof bestätigt bekommen hab. trotzdem vielen danke für die hilfreichen gedanken (@misterseaman)

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