Grenzwert zeigen

16.11.2017, 16:13	Statista	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert zeigen Meine Frage: Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty }~{\frac{2}{3n+5}=0} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: zz.: $\begin{eqnarray} \forall ~\varepsilon>0~\exists~N\in\mathbb{N}:\|{\frac{2}{3n+5}-0}\|<\varepsilon, ~\forall~n\geq N \end{eqnarray}$ Nun gilt: $\begin{eqnarray} \|{\frac{2}{3n+5}-0}\| = {\frac{2}{3n+5}} <\varepsilon \end{eqnarray}$ Stellt man dies um, erhält man: $\begin{eqnarray} {\frac{2}{3\varepsilon}} - {\frac{5}{3}} <n \end{eqnarray}$ Kann man nun einfach sagen, dass wir ein $\begin{eqnarray} N > {\frac{2}{3\varepsilon}} - {\frac{5}{3}} \end{eqnarray}$ wählen und dann mit einem Widerspruch arbeiten, indem man annimmt, dass gilt $\begin{eqnarray} ~\exists~\varepsilon>0:{\frac{2}{3n+5}}\ge\varepsilon, ~\forall~n\ge N \end{eqnarray}$ (Für die gesamte Aufgabe gilt natürlich: $\begin{eqnarray} \varepsilon \in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ )
16.11.2017, 17:43	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert zeigen Das ist zwar nicht falsch - aber ein Beweis sieht anders aus. Sei $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ beliebig. Wähle nun $\begin{eqnarray} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} n_0>\frac 2{\epsilon}. \end{eqnarray}$ Dann gilt für alle natürlichen $\begin{eqnarray} n\geq n_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n~>~\frac 2{\epsilon}~\geq~\frac 2{3\epsilon}-\frac 53\Rightarrow\ldots\Rightarrow \frac 2{3n+5}< \epsilon \end{eqnarray}$
16.11.2017, 18:06	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert zeigen Frage: Warum genügt es nicht, einfach mit x zu kürzen? Dann sieht man den GW doch sofort.

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