Problem bei Lagrange Optimierung

16.11.2017, 19:45	Duriel	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem bei Lagrange Optimierung Hallo zusammen, bei meiner Klausurvorbereitung bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen, bei der ich leider nicht weiterkomme: Gegeben sei die Nutzenfunktion U(Xw, Xs) = 2 (Xw * Xs)^0,5 mit Xw, Xs > 0 1 ME von Xw kostet 2 GE 1 ME von Xs kostet 3 GE Ingesamt dürfen 120 GE ausgegeben werden. Geben Sie den maximalen Nutzen an. Mein Lösungsansatz ist die Lagrange-Methode. D.h. erstmal die Nebenbedingung aufstellen => 2 Xw + 3 Xs = 120 Dann die Nebenbedingung nach 0 umstellen => 0 = 120 - 2 Xw - 3 Xs Dann die Lagrangefunktion bilden => 2 (Xw * Xs)^0,5 + » (120 - 2 Xw - 3Xs) Gleichungssystem aufstellen (Partiell ableiten) und Nullsetzen: I L`Xw = (Xw * Xs)^-0,5 * Xs - » II L`Xs = (Xw * Xs)^-0,5 * Xw - 1,5» III L`» = 120 - 1,5 Xs - Xw Und hier scheitere ich leider. Ich bekomme das Gleichungssystem einfach nicht aufgelöst. Ich habe erst versucht I und II nach » aufzulösen und Gleichzusetzen, komme da aber bei Xs^3 * Xw =Xw^3 * Xs * 1/2,25 raus und dann auch nicht mehr weiter (außerdem ist das Ergebnis ziemlich sicher falsch).Dann habe ich versucht I mit -1,5 zu multiplizieren und II - I zu rechnen, habe da aber leider auch nichts sinnvolles bei rausbekommen. Habe ich einen Fehler bei der Ableitung gemacht? Kann mir hier jemand weiterhelfen?
17.11.2017, 03:03	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} L(x_w,x_s,\lambda) = 2(x_wx_s)^{-0.5} + \lambda(120 - 2x_w - 3x_s) \end{eqnarray}$ Bei deinen Ableitungen gehen mir die $\begin{eqnarray} -2\lambda \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} -3\lambda \end{eqnarray}$ von der NB ab ..., und dann ist eben $\begin{eqnarray} (1) \ (x_wx_s)^{-0.5}x_s = 2 \lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2) \ (x_wx_s)^{-0.5}x_w = 3 \lambda \end{eqnarray}$ ------------------------------------------- $\begin{eqnarray} (1) \ (x_w)^{-0.5}(x_s)^{0.5} = 2 \lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2) \ (x_s)^{-0.5}(x_w)^{0.5} = 3 \lambda \end{eqnarray}$ ------------------------------------------ Division Gl. (1) / Gl. (2), damit wird $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ eliminiert: $\begin{eqnarray} \frac{x_s}{x_w} = \frac 2 3 \end{eqnarray}$ , damit gehe nun in die NB, --> $\begin{eqnarray} x_w = 30; \ x_s = 20 \end{eqnarray}$ mY+

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